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在[[数学]]中，'''舒尔引理'''（{{lang|en|Schur's lemma}}）是[[群]]与[[代数]]的[[表示论]]中一个初等但非常有用的命题。在群的情形是说，如果''M''与''N''是群''G''的两个有限维[[不可约表示]]，''&phi;''是从''M''到''N''的与[[群作用]]可交换的线性映射，那么''&phi;'' [[逆元素|可逆]]或''&phi;'' = 0。一个重要的特例是''M''&nbsp;=&nbsp;''N''而''&phi;''是一个到自身的映射。这个引理以[[伊赛·舒尔]]（{{lang|en|Issai Schur}}）命名，他使用这个引理证明了[[舒尔正交关系]]，奠定了[[有限群的表示论]]的基石。舒尔引理可推广到[[李群]]与[[李代数]]，其形式由[[雅克·迪克斯米爾]]推導。

== 用模的语言表述 ==
如果''M''与''N''是环''R''上两个[[单模]]，则任何''R''-模[[同构]]''f'': ''M'' &rarr; ''N''可逆或者为零。特别地，一个单环的[[自同态环]]是[[除环]]。

条件''f''是一个模的同构意味着：

: <math> f(rm) = rf(m) </math>对所有<math>m</math>属于<math>M</math>与<math>r</math>属于<math>R</math>成立。

舒尔引理之群的版本是模版本的特例，因为群''G''的任何表示可等价地视为''G''的[[群环]]上的一个模。

舒尔引理经常用于下面这个特例。假设''R''是复数域'''C'''上的[[代数]]以及''M'' = ''N''是''R''上有限维模。那么舒尔引理说模''M''的任何自同态要么是由一个非零数量相乘给出，要么是零。注意到在此时的前提下，除环中的任意元素f在''M''中存在特征子空间，而该特征子空间是''R''不变的，从而就是M，于是f属于'''C'''。这便是说模''M''的自同态环是'''C'''，即“尽可能小”。更一般地，这个结论对任何[[代数封闭]]域上的[[代數_(環論)|代数]]以及至少是[[可数]]维单模也成立。如果域不是代数封闭的，自同态环尽可能小的情形是特别感兴趣的：一个''k''-代数上的单模称为[[绝对不可约|绝对单]]如果其自同态环同构于''k''。这个条件一般强于是域''k''上的不可约模，意味着模甚至在''k''的[[代数闭包]]上也是不可约的。

== 矩阵形式 ==

设''G''是一个複[[矩阵群]]，这意味着''G''是给定阶数''n''的一个[[方块矩阵]]集合，矩阵元素为複数，且''G''在[[矩阵乘法]]与[[逆矩阵|取逆]]运算下封闭。另外，假设''G''是不可约的：没有''V''非[[平凡 (数学)|平凡]]的[[子空间]]（即不为{0}或整个空间）在''G''的作用下不变。换句话说， 

:如果对所有<math>g</math>属于<math>G</math>有<math>gV\subseteq V</math>，则<math>V=\{0\}</math>或<math>V=\mathbb{C}^n.</math> 

在針對一个表徵时，舒尔引理断言：如果''A''這個''n''阶複矩阵可与''G''中所有矩阵[[交换]]，那么''A''是一个[[對角矩阵]]。这个命题一个简单的推论是[[阿贝尔群]]的任何不可约複表示都是一维的。

== 推广到非单模 ==
一个模版本的舒爾引理有所涉及模''M''不必单的推广，他们描述了''M''的模理论性质与''M''的同态环之间的关系。

一个模称为'''绝对不可分解'''如果其同态环是一个[[局部环]]。对最重要的一类[[模的长度|有限长]]模，下列性质是等价的{{harv|Lam|2001|loc=&sect;19}}：
* 模''M'' [[不可分解模|不可分解]]；
* ''M''强不可分解； 
* ''M''的任何自同态要么是[[幂零]]的要么可逆。

一般来说，舒尔引理的[[逆命题]]不成立：存在非单模，它们的自同态代数是除环。这样的模必然是不可分解的，从而不能在半单环（比如有限群的复群环）上存在。但是，即使在[[整数]]环上，[[有理数]]模的自同构模是一个除环，即有理数域。甚至对群环，存在例子使得[[域的特征]]整除群的阶数：五个点的[[交错群]]在三个元素的域上的一维表示的[[射影覆盖]]的[[雅克布森根]]的同态环是三个元素的域。

==参考文献==
* David S. Dummit, Richard M. Foote. ''Abstract Algebra.'' 2nd ed., pg. 337.
*{{Citation | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen（林节玄） | title=A First Course in Noncommutative Rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-95325-0 | year=2001 }}

[[Category:表示论|S]]
[[Category:引理]]