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在[[线性代数]]中，'''舒尔分解'''或'''舒尔上三角化'''是一种[[矩阵分解]]方法，得名于[[德国]][[数学家]]{{link-en|伊沙海·舒爾|Issai Schur}}。

== 定理的陈述 ==
舒尔分解定理表明，如果'''A'''是''n''阶的复方阵，则存在''n''阶[[么正矩阵]]Q，''n''阶上三角矩阵U，使得：<ref name=horn1985>{{cite book|author=Horn, R.A. and Johnson, C.R.|year=1985|title=Matrix Analysis|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-38632-2}}(Section 2.3 and further at [{{Google books|plainurl=y|id=PlYQN0ypTwEC|page=79|text=Schur}} p. 79])</ref><ref name=Golub1996>{{cite book|author=Golub, G.H. and Van Loan, C.F.|year=1996|title=Matrix Computations|edition=3rd|publisher=Johns Hopkins University Press|isbn=0-8018-5414-8}}(Section 7.7 at [{{Google books|plainurl=y|id=mlOa7wPX6OYC|page=313|text=Schur Decomposition}} p. 313])</ref><ref name=a>《矩阵论》：第四章.第五节.Schur定理与正规矩阵</ref>

:<math> A = Q U Q^{H}</math>
即任何一个''n''阶复方阵A酉相似于一个''n''阶上三角矩阵U。因为A，U相似，所以两者有相同的[[特征值]]，且相同特征值的[[代数重数]]也相同。又因U是上三角矩阵，所以U的对角元素实际上是A的所有特征值。

该定理表明，存在'''C'''<sup>''n''</sup>的一个[[线性子空间]]序列{0} = ''V''<sub>0</sub> ⊂ ''V''<sub>1</sub> ⊂ ... ⊂ ''V<sub>n</sub>'' = '''C'''<sup>''n''</sup>，使得其中的每一个都是A（看成[[线性变换]]）的[[不变子空间]]。且存在'''C'''<sup>''n''</sup>（指定标准[[内积]]）的一组单位酉正交基，使得前i个基向量张成上述序列中第i个子空间。<ref name=horn1985/>

== 定理的证明 ==
=== 以线性变换思想 ===
把矩阵A看成是有限维[[酉空间]]'''C'''<sup>''n''</sup>上的[[线性变换]]，它有[[特征值]]''&lambda;''，所对应的[[特征子空间]]为''V<sub>&lambda;</sub>''，令''V<sub>&lambda;</sub>''<sup>⊥</sup> 为它的[[正交补]]空间。分别取两个空间的一组单位正交基(Z<sub>1</sub>，Z<sub>2</sub>)，它们构成原空间的一组单位正交基，则线性变换A在这组基下的矩阵表出为：


:<math>\begin{bmatrix} Z_1 & Z_2 \end{bmatrix}^{*} A \begin{bmatrix}Z_1 & Z_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda \, I_{\lambda} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}: 
\begin{matrix}
V_{\lambda} \\
\oplus \\
V_{\lambda}^{\perp}
\end{matrix}
\rightarrow
\begin{matrix}
V_{\lambda} \\
\oplus \\
V_{\lambda}^{\perp}
\end{matrix}
</math>

而A<sub>22</sub>又可以看成是''V<sub>&lambda;</sub>''<sup>⊥</sup>上的线性变换，又可以重复上述过程。（本质上，A<sub>22</sub>是A在商空间'''C'''<sup>''n''</sup>\''V<sub>&lambda;</sub>''上引入的线性变换。）所以最终可以找到'''C'''<sup>''n''</sup>的一组基，使得A在这组基下的矩阵为上三角矩阵。<ref name=horn1985/><ref name=Golub1996/>

=== 以矩阵思想 ===
上述证明过程也可以用矩阵的语言复述。对''n''阶矩阵采用数学归纳法:
#k=1，显然命题成立。
#若任何一个''n-1''阶矩阵酉正交相似于一个上三角矩阵。则对一个''n''阶矩阵，它有特征值''&lambda;<sub>1</sub>''，对应特征向量''β''。将''β''扩充为'''C'''<sup>''n''</sup>的一组单位正交基，并排列成矩阵V<sub>1</sub>，则有：
:::<math>V_1^{-1}A V_1=\begin{bmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & A_1 \end{bmatrix} </math>
::根据归纳假设，存在''n-1''阶酉矩阵V<sub>2</sub>和上三角矩阵T，使得：
:::<math>V_2^{-1}A_1V_2=T</math>
::所以有：
:::<math>\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & A_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & T \end{bmatrix} </math>
::即：
:::<math>(V_1\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{bmatrix})^{-1}A (V_1\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{bmatrix})=\begin{bmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & T \end{bmatrix} </math>
::令<math>U=V_1\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{bmatrix}</math>，显然它是酉矩阵。由归纳假设，原命题成立。<ref>{{cite book|title=《高等代数学习指导·上册》|page=p352|author=丘维声|publisher=清华大学出版社|isbn=978-7-302-10975-4|year=2005}}</ref><ref name=a/>

== 计算 ==
给定矩阵的舒尔分解可以用QR计算法求出。换言之，为求解矩阵的舒尔分解，并没有必要求解其[[特征多项式]]的根。另一方面，通过求解一个多项式的伴随矩阵的舒尔分解，可以计算出它的所有根。类似地，通过舒尔分解，也可以计算给定矩阵的特征值。<ref>{{cite book|first=E.|last=Anderson|coauthors=Bai, Z.; Bischof, C.; Blackford, S.; [[James Demmel|Demmel, J.]]; [[Jack Dongarra|Dongarra, J.]]; Du Croz, J.; Greenbaum, A.; Hammarling, S.; McKenney, A.; Sorensen, D.
| title =LAPACK Users' Guide
| edition = Third
| publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics
|year = 1999
| location = Philadelphia, PA
| isbn = 0-89871-447-8
| url = 
}}</ref>

== 广义舒尔分解 ==
给定矩阵A和B，则存在[[酉矩阵]]Q、Z，上三角矩阵S、T，使得<math>A=QSZ^{-1}</math>和<math>B=QTZ^{-1}</math>同时成立。这被称为广义舒尔分解，有时也被称为QZ分解。<ref name=Golub1996/>

广义特征值问题<math>det(A-\lambda B)=0</math>的解是S、T对应的对角元的比值，即<math>\lambda_i=S_{ii}/T_{ii}</math>。<ref name=Golub1996/>

== 参考文献 ==
{{reflist}}
[[Category:矩阵论]]
[[Category:线性代数]]