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'''自由黎曼气体模型'''（{{lang-en|free Riemann gas model}}），又名'''素数子气体模型'''（{{lang-en|Primon gas model}}）或'''素数气体模型'''（{{lang-en|Prime number gas model}}）<ref name="stat">{{cite journal|journal=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment|volume=2019|issue=2|issn=1742-5468|date=2019-02-15|pages=023203|doi=10.1088/1742-5468/aaf717|url=http://stacks.iop.org/1742-5468/2019/i=2/a=023203?key=crossref.598822e7cbafed70e0c9641a149a5bb2|title=Generalized Riemann hypothesis, time series and normal distributions|accessdate=2019-08-07|author=André LeClair, Giuseppe Mussardo}}{{Dead link|date=2020年1月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>，是[[统计物理学]]和[[量子场论]]中的一个[[玩具模型]]。该模型刻画了[[素数]]理论与一个假想的、无相互作用的量子场理论之间的对应关系；后者的激发态被称为“'''素数子'''”（{{lang-en|Primon}}）。1990年，唐纳德•斯佩克特和伯纳德•朱利亚两人[[重复独立发现发明列表|彼此独立地]]提出了这一模型；随后，巴卡斯，博威克和斯佩克特进一步研究了该理论与更为复杂的模型（例如[[弦论]]）之间的关联。<ref name="Spector">{{cite |author=D. Spector|title= Supersymmetry and the Möbius Inversion Function|journal= Communications in Mathematical Physics|issue=127|year=1990|page=239–252}}</ref><ref>{{cite|author=Bernard L. Julia|title=Statistical theory of numbers|journal=Number Theory and Physics|editor= J. M. Luck, P. Moussa, M. Waldschmidt|series=Springer Proceedings in Physics|volume=47|publisher= Springer-Verlag|year=1990|page=276–293}}</ref><ref>{{cite|author=I. Bakas, M.J. Bowick|title= Curiosities of Arithmetic Gases|journal=J. Math. Phys|issue=32 |year=1991|page=1881}}</ref><ref>{{cite |author=D. Spector|title=Duality, Partial Supersymmetry, and Arithmetic Number Theory|journal=J. Math. Phys|issue=39 |year=1998|page=1919–1927}}</ref>
== 模型==
考虑一个无相互作用的全同[[玻色子]]构成的量子系统。假设每个粒子有可列多个分立能级：
:<math>\epsilon_{1}<\epsilon_{2}<\epsilon_{3}...</math>，且：
:<math>a_{1},a_{2},a_{3}...</math>是与之对应的[[湮灭算子]]。则真空态<math>|\Omega\rangle</math>和所有粒子态：
:<math>|k_1,k_2,k_3...\rangle \equiv  (a_{1}^{\dagger})^{k_1}(a_{2}^{\dagger})^{k_2}...|\Omega\rangle</math>，<math>k_i \in \mathbb{N}</math>
张成了态空间的一组[[正交基]]。令：
:<math>p_{1}<p_{2}<p_{3}...</math>
为全体素数的构成的升序列。则如下的映射：
:<math>|k_1,k_2,k_3...\rangle \mapsto N\equiv p_{1}^{k_1}p_{2}^{k_2}p_{3}^{k_3}...</math>
是这组正交基到正整数的[[双射]]，后者由[[算术基本定理|因数分解的唯一性]]保证。因此，系统的任意粒子态都可以用正整数唯一标记。在数学文献中，这种标记方法被称为[[哥德尔数#哥德尔编码|哥德尔编号]]。<ref name="stat"/><ref name="Spector"/>
=== 能级和正则配分函数 ===
现在假设单粒子态的能量满足：
:<math>\epsilon_i = \ln p_i</math>
满足上述性质的假想粒子称为素数子。此时，对于任意一个粒子态<math>|N\rangle</math>，其能量<math>E_N</math>都满足：
:<math>E_N=\sum_{i=1}^{\infty} k_i \epsilon_i=\sum_{i=1}^{\infty} k_i \ln p_i=\ln N</math>
该系统在参数为<math>\beta</math>的[[正则系综]]下的配分函数为[[黎曼函数]]：
:<math>Z(\beta)=\sum_{N=1}^{\infty}\exp(-\beta E_N)=\sum_{N=1}^{\infty} \frac{1}{N^{\beta}}=\zeta (\beta)</math>
另一方面，配分函数可以写成如下的连乘积：
:<math>Z(\beta)=\prod_{i=1}^{\infty}\frac{1}{1-\exp(-\beta \epsilon_i)}=\prod_{i=1}^{\infty}\frac{1}{1-p_{i}^{-\beta}}</math>
即得[[欧拉乘积|欧拉乘积公式]]。<ref name="stat"/><ref name="Spector"/>

== 超素数子 ==
上述素数子气体模型可以自然地推广到超对称的情形。在[[超对称]]模型中，每个玻色场的湮灭算子都存在一个与之对应的费米场的湮灭算子；令后者为：
:<math>f_{1},f_{2},f_{3}...</math>
如此，该模型的粒子态具有如下形式：
:<math>|k_1,k_2,k_3...l_1,l_2,l_3...\rangle\equiv (a_{1}^{\dagger})^{k_1}(a_{2}^{\dagger})^{k_2}...(f_{1}^{\dagger})^{l_1}(f_{2}^{\dagger})^{l_2}...|\Omega\rangle</math>，<math>k_i \in \mathbb{N}</math>，<math>l_i \in \{0,1\}</math>
由于泡利不相容原理，每个费米场此时，每个粒子态可以利用如下定义的两个正整数标记：
:<math>N\equiv p_{1}^{k_1+l_1}p_{2}^{k_2+l_2}p_{3}^{k_3+l_3}...</math>
:<math>d\equiv p_{1}^{l_1}p_{2}^{l_2}p_{3}^{l_3}...</math>
类似地，任意一个正整数<math>N</math>和<math>N</math>的任何一个[[无平方数因数的数|不含平方数因数]]的因数<math>d</math>构成的数对<math>(N,d)</math>唯一决定了该模型中的一个粒子态。其中，粒子态的能量仅由<math>N</math>决定，而其[[自旋统计定理|自旋统计]]性质仅取决于<math>d</math>。

注意到如此构建的粒子态恰好为算子<math>(-1)^{\hat F}</math>的本征态：
:<math>(-1)^{\hat F}|N,d\rangle=\mu (d)|N,d\rangle</math>
其中函数<math>\mu (d)</math>满足：
:<math>\mu (d)=+1</math>，若<math>d</math>的素因子数目为偶；
:<math>\mu (d)=-1</math>，若<math>d</math>的素因子数目为奇。
因此<math>\mu (d)</math>为[[默比乌斯函数]]。<ref name="Spector"/>
=== 威腾指标与素数定理 ===
算子<math>(-1)^{\hat F}</math>在参数为<math>\beta</math>的正则系综中的平均值为威腾指标：
:<math>\Delta \equiv \mathbf{Tr}(\exp(-\beta \hat H)(-1)^{\hat F})</math>
由于模型中费米场与玻色场没有相互作用，求迹运算可以对玻色自由度和费米自由度分别进行：
:<math>\Delta=\mathbf{Tr}(\exp(-\beta \hat H_f)(-1)^{\hat F})\mathbf{Tr}(\exp(-\beta \hat H_b))</math>
:<math>\mathbf{Tr}(\exp(-\beta \hat H_b))=Z(\beta)=\zeta (\beta)</math>
:<math>\mathbf{Tr}(\exp(-\beta \hat H_f)(-1)^{\hat F})=\sum_{d}\exp(-\beta \hat E_d)\mu(d)=\sum_{d}\frac{\mu(d)}{d^{\beta}}</math>
另一方面，
:<math>\Delta = \sum_{N=1}^{\infty}\sum_{d|N} \exp(-\beta E_N) \mu(d)</math>
由于超对称性，算子<math>(-1)^{\hat F}</math>在除真空态以外的任意具有确定<math>N</math>的粒子态构成的子空间上的表示矩阵都是无迹的。因而：
:<math>\sum_{d|N} \mu(d)=\delta_{N,1}</math>
:<math>\Delta= \exp(-\beta E_1)=1</math>
因此通过计算这个超对称素数子模型的威腾指标，可以得到如下关于默比乌斯函数的恒等式：
:<math>\sum_{d}\frac{\mu(d)}{d^{\beta}}=\zeta^{-1} (\beta)</math>
利用这一公式可推出[[素数定理]]。<ref name="Spector"/>

== 进一步推广 ==
量子场论与素数理论的这种关联可以进一步地抽象为[[拓扑量子场论]]与[[K理论]]的关联。为实现这一目的，可将素数推广为[[素理想]]。

==参考文献==
{{reflist|2}}

[[Category:量子场论]]
[[Category:统计力学]]
[[Category:解析数论]]
[[Category:素数]]
[[Category:数学物理]]