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[[数学]]中，'''自由阿贝尔群'''是有[[自由模|基]]的[[阿贝尔群]]。阿贝尔群是配备了符合[[结合律]]、[[交换律]]且有逆的[[运算]]的[[集合 (数学)|集合]]。若对[[群 (数学)|群]]中每个元素，可以唯一表示为有限多基元素的[[整数]]系数[[线性组合|组合]]，那么这些基元素就构成了基，也称作'''整基'''，是集合的[[子集]]。例如，2维[[整格]]形成了一个自由阿贝尔群，其中逐坐标加法是其运算，(1,0)、(0,1)两个点是基。自由阿贝尔群的性质与[[向量空间]]相近，可以叫做'''自由'''{{nowrap|<math>\Z</math>'''-模'''}}，是整数上的[[自由模]]。[[格子|格理论]]研究[[实数|实]]向量空间的自由阿贝尔[[子群]]。[[代数拓扑]]中，自由阿贝尔群用于定义[[链 (代数拓扑)|链]]；[[代数几何]]中，则用于定义[[除子]]。

自由阿贝尔群的元素有多种用基<math>B</math>描述的方式，如<math>B</math>上的'''形式和'''，是有限级数<math display=inline>\sum a_i b_i </math>的表示，其中<math>a_i</math>为非零整数，<math>b_i</math>为互异的基元素。另外，自由阿贝尔群的元素还可以视作由<math>B</math>的元素构成的有符有限[[多重集]]，多重集元素的乘法等同于形式和中的系数。
另一种表示方法是<math>B</math>到整数的[[函数]]，其中有有限个非零值；这种函数表示对应的群运算是函数的[[逐点]]加法。
每个集合与自己的基<math>B</math>都有自由阿贝尔群，在每两个基相同的自由阿贝尔群[[群同构|同构]]的意义上是唯一的。自由阿贝尔群的构造不是通过描述每个元素，而是用基<math>B</math>构造为多个整数加群的[[直和]]，每个加群对应一个基元；还可以描述为基元素及其生成元的[[群的展示|展示]]，元素对的[[交换子]]为其关系元。自由阿贝尔群的[[秩 (阿贝尔群)|秩]]就是基的[[势 (数学)|势]]；一个群的两个基秩相同，秩相同的两个自由阿贝尔群同构。自由阿贝尔群的每个子群也是自由阿贝尔群，这使自由阿贝尔群可以视作是自由阿贝尔群按关系（relation）的[[商群|商]]，或自由阿贝尔群之间[[单射]][[群同态|同态]]的[[余核]]。属于自由阿贝尔群的自由群是[[平凡群]]和[[循环群]]。

==定义与例子==
[[File:Lattice in R2.svg|thumb|upright=1.3|[[平面 (数学)|平面]]上的格。任意两个蓝色格点相加，会得到另一个格点；这样的加法形成的群就是一个自由阿贝尔群。]]
自由阿贝尔群是有基的[[阿贝尔群]]。{{r|sims}}“阿贝尔群”意味着它可以描述为一个集合<math>S</math>的元素及集合上的一个[[二元运算]]，习惯上将[[加法群]]记作<math>+</math>（不必是数之间的加法），有以下性质：
*运算<math>+</math>遵循[[交换律]]和[[结合律]]，也就是说，对于<math>S</math>的任意元素{{nowrap|<math>x</math>}}，{{nowrap|<math>y</math>}}，{{nowrap|<math>z</math>}}，都有<math>x+y=y+x</math>与{{nowrap|<math>(x+y)+z=x+(y+z)</math>}}。则，如对<math>S</math>中多个元素应用运算，元素的排序和组合不会影响运算结果。
*<math>S</math>包含[[单位元]]（一般记作{{nowrap|<math>0</math>}}），对于每个元素{{nowrap|<math>x</math>}}，都有{{nowrap|<math>x+0=0+x=x</math>}}。
*<math>S</math>中每个元素<math>x</math>都有[[逆元]]{{nowrap|<math>-x</math>}}，使得{{nowrap|<math>x+(-x)=0</math>}}。
基<math>B</math>是<math>S</math>的子集，对<math>S</math>中的每个元素，都有唯一的表示方法：选择有限个基元素<math>b_i</math>与同样多的非零整数<math>k_i</math>，<math>k_i</math>为正则取<math>k_i</math>份<math>b_i</math>，<math>k_i</math>为负则取<math>-k_i</math>份<math>-b_i</math>。{{r|vick}}特殊地，根据传统的[[空和]]表示，单位元一定可以由零基元素这样表示，且只有单位元具有这样的单位性。<ref>有些资料对自由阿贝尔群的定义是，单位元的唯一表示是空和，而不是将其作为集合元素表示的特例。见{{harvtxt|Sims|1994}}</ref>

整数集{{nowrap|<math>\mathbb{Z}</math>}}在通常的加法下与基{{nowrap|<math>\{1\}</math>}}形成了自由阿贝尔群。整数符合结合律和交换律，其中[[0]]是[[加法单位元]]；每个整数也都有[[加法逆元]]，即对应的负数。每个非负的<math>x</math>是<math>x</math>份{{nowrap|<math>1</math>}}的和，每个负整数<math>x</math>是<math>-x</math>份{{nowrap|<math>-1</math>}}的和，所以也满足基的性质。{{r|sims}}

群运算不同于普通数加法的例子见正[[有理数]]{{nowrap|<math>\mathbb{Q}^+</math>}}，它与普通[[乘法]]运算形成了自由阿贝尔群，[[质数]]是它们的基。乘法符合结合律和交换律，其中<math>1</math>是单位元，<math>1/x</math>是每个正有理数{{nowrap|<math>x</math>}}的运算逆元。由[[算术基本定理]]可知，质数构成这些数乘法的基。由于每个正整数都可以唯一[[整数分解|分解]]为有限多个素因子及其逆。如果<math>q=a/b</math>已经是互质的最简分数，则<math>q</math>就可以表示为素数<math>a</math>、<math>b</math>的有限组合。{{r|fuchs}}

由单一变量<math>x</math>构成的整系数[[多项式]]及多项式加法形成了一个自由阿贝尔群，<math>x</math>的幂是其基。作为一个抽象群，这与正有理数乘法群相同（[[群同构]]）。要构建能展示两个群之间同构的映射，可以将有理数乘法群中的第{{nowrap|<math>i</math>}}个素数的指数重新诠释为多项式中<math>x^{i-1}</math>的系数，反之亦然。例如，有理数<math>5/27</math>可以表示为前三个质数<math>2, 3, 5</math>的积，指数分别为<math>0, -3, 1</math>，可以对应系数相同的多项式<math>-3x+x^2</math>。这样的映射仅仅重新诠释了同样一组数字，所以实际上是定义了群之间的[[双射]]。又由于正有理数乘法对应的群运算在素数的指数上表现得像加法，加法则作用于多项式系数，所以映射保存了群的结构，它们是[[同态]]的。双射同态也就是同构，其存在说明这两个群有相同的性质。{{r|bradley}}

给定基对每个群元素的表示是唯一的，不过自由阿贝尔群一般不只有一个基，不同的基一般会给出元素的不同表示。例如，如果将基的所有元素都取逆，就得到了另一组基。更具体地说，一个2维[[整格]]{{nowrap|<math>\Z^2</math>}}（包含平面上所有整数坐标点）形成了自由阿贝尔群，其运算为向量加法，一组基为{{nowrap|<math>\{(1,0),(0,1)\}</math>{{r|sims}}}}。在这组基下，元素<math>(4,3)</math>'''只能'''写作{{nowrap|<math>(4,3) = 4 \cdot (1,0) + 3 \cdot (0,1)</math>}}，其中定义的“乘法”如{{nowrap|<math>\ 4 \cdot (1,0) := (1,0) + (1,0) + (1,0) + (1,0)</math>}}。如果把基换成{{nowrap|<math>\{(1,0),(1,1)\}</math>}}，那么这个元素就只能写成{{nowrap|<math>(4,3) = (1,0) + 3\cdot (1,1)</math>}}。推广这个例子，每个[[格子]]都形成了自由[[有限生成阿贝尔群]]。{{r|anta}}{{nowrap|<math>d</math>}}维整格<math>\Z^d</math>的自然基包含正整数[[单位向量]]，也有许多其他的基：若<math>M</math>是<math>d</math>阶整数[[矩阵|方阵]]，且[[行列式]]的值{{nowrap|<math>\pm 1</math>}}，则<math>M</math>的行构成基，[[逆命题|相反地]]，整格的每个基都可表示为这种形式。{{r|lbr}}

==构造==
每个集合都可以说一个自由阿贝尔群的基，在群同构的意义下是唯一的。给定基集的自由阿贝尔群可通过几种等价手段构造得来：整数份基元素的直和；整值函数族；有符多重集；或是通过[[群的展示]]。

===积与和===
群的[[直积 (群)|直积]]包含积中各组元素形成的数组，以及逐指数加法。两个自由阿贝尔群的直积仍是自由阿贝尔群，基是原来两个基的[[不交并]]。{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Exercise&nbsp;5, p.&nbsp;75}}更一般地，有限个自由阿贝尔群的直积仍是自由阿贝尔群。例如，{{nowrap|<math>d</math>}}维整格与<math>d</math>份整群{{nowrap|<math>\Z</math>}}的直积同构。平凡群<math>\{0\}</math>也是自由阿贝尔群，基是[[空集]]。{{r|lee}}也可以解释为[[空积]]，即0份{{nowrap|<math>\Z</math>}}的直积。{{r|trivial-product}}
对于自由阿贝尔群的无限族，直积就不是自由阿贝尔的必要条件了。{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Exercise&nbsp;5, p.&nbsp;75}}例如，不可数的Baer–Specker群{{nowrap|<math>\mathbb{Z}^\mathbb{N}</math>}}形成了可数多份<math>\mathbb{Z}</math>的直积，1937年Reinhold Baer证明其不是自由阿贝尔群。{{r|baer}}不过Ernst Specker在1950年证明了，它所有的可数子集都是自由阿贝尔群。{{r|specker}}要使群的无限族保持自由阿贝尔性，则应改用[[群的直和|直和]]而非直积。直和与直积应用于有限多群时是相同的，但对无限族来说是不同的。直和的元素也是来自每组的元素组成的数组，但任意有限多元素都是它们的群的单位元。无限自由阿贝尔群的直和仍是自由阿贝尔群，有一个由除一个元素外都是同一元素的数组组成的基，其余元素是其群的基的一部分。{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Exercise&nbsp;5, p.&nbsp;75}}
每个自由阿贝尔群都可以描述为多份{{nowrap|<math>\mathbb{Z}</math>}}的直和，一份对应基的一个元素。{{r|maclane|kap}}这一构造可以使任何集合<math>B</math>成为某个自由阿贝尔群的基。{{r|hungerford}}
===整函数与形式和===
给定集合{{nowrap|<math>B</math>}}，可以定义群<math>\mathbb{Z}^{(B)}</math>，其元素是从<math>B</math>映射到实数的函数，上标的圆括号表示只包括有有限多非零值的函数。
若<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>是符合要求的函数，则<math>f+g</math>的值是<math>f</math>与{{nowrap|<math>g</math>}}值之和；即{{nowrap|<math>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math>}}。这样的[[逐点]]加法运算赋予<math>\mathbb{Z}^{(B)}</math>以阿贝尔群的结构。{{r|joshi}}

给定集合<math>B</math>中的每个元素<math>x</math>对应{{nowrap|<math>\mathbb{Z}^{(B)}</math>}}中的一个成员；有函数<math>e_x</math>（<math>e_x(x)=1</math>，<math>e_x(y)=0</math>，这时{{nowrap|all <math>y\ne x</math>}}）。
则<math>\mathbb{Z}^{(B)}</math>中的每个函数<math>f</math>是有限多基元素的唯一线性组合：
<math display=block>f=\sum_{\{x\mid f(x)\ne 0\}} f(x) e_x</math>
则这些元素<math>e_x</math>形成了{{nowrap|<math>\mathbb{Z}^{(B)}</math>}}的一个基，<math>\mathbb{Z}^{(B)}</math>是自由阿贝尔群。
这样，每个集合<math>B</math>都可以构造为某个自由阿贝尔群的基。{{r|joshi}}

<math>\mathbb{Z}^{(B)}</math>的元素也可以写作'''形式和'''，是每项都写成非零整数与<math>B</math>中元素之积的有限级数。表达式的项如果相同，则无论项的排列如何，都认为是等价的。计算形式和可以先排列、组合有相同基元素的项，再删去产生零系数的项。{{r|fuchs}}也可以解释为<math>B</math>中有限多元素的有符[[多重集]]。{{r|vggsu}}

===展示===
[[群的展示]]是[[群的生成集|生成]]了群的元素组成的集合（即，所有群元素都可以表示为有限多生成元的积），加上“关系元”，生成元的积可以给出单位元。这样定义的群元素是生成元序列及其逆的[[等价类]]，所处的[[等价关系]]允许增删任何关系元或生成元-逆对作为连续子序列。基为<math>B</math>的自由阿贝尔群的生成元可以是{{nowrap|<math>B</math>}}的元素，关系元则是{{nowrap|<math>B</math>}}的元素对的[[交换子]]，它们构成了自由阿贝尔群的一种展示。这里<math>x</math>、<math>y</math>两个元素的交换子是{{nowrap|<math>x^{-1}y^{-1}xy</math>}}，令其为单位元，可以推出<math>xy=yx</math>，则<math>x</math>、<math>y</math>可交换。更一般地，如果所有生成元对都可交换，则所有生成元积的对也可交换，所以由这种表示生成的群是阿贝尔群，关系元则形成了确保其是阿贝尔群的最小关系子集。{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Exercise&nbsp;3, p.&nbsp;75}}

生成元集合有限时，自由阿贝尔群的展示也有限，因为展示中只包含有限多个不同交换子。这一事实与自由阿贝尔群的每个子群仍是自由阿贝尔群一同，可以说明任何有限生成阿贝尔群的展示也有限。例如，若<math>G</math>由集合{{nowrap|<math>B</math>}}有限生成，则它是<math>B</math>上的自由阿贝尔群由一个由<math>G</math>的关系元生成的子群构成的[[商群|商]]。但子群本身也是自由阿贝尔群，其基（以及{{nowrap|<math>B</math>}}上的交换子）形成了{{nowrap|<math>G</math>}}的关系元的有限集。{{r|symmetries}}

==作为模==
整数上的[[模]]的定义与[[实数]]或[[有理数]]上的[[向量空间]]类似，其包含可以互相加和、且可以与整数进行[[标量乘法]]的元素系统。阿贝尔群可以视作是整数上的模，其中标量乘法定义如下：{{r|algebra}}
{|
|-
| style="padding-left: 1.7em;" |<math>0\,x=0</math>
|
|
|-
| style="padding-left: 1.7em;" |<math>1\,x=x</math>
|
|
|-
| style="padding-left: 1.6em;" |<math>n\,x=x+ (n-1)\,x,\quad</math>
|若<math>n>1</math>
|-
| style="padding-left: 1.6em;" |<math>n\,x=-((-n)\,x),</math>
|若<math>n<0</math>
|}

但只有自由阿贝尔群像向量空间那样有基。[[自由模]]可以表示为基[[环 (数学)|环]]上的直和，因此自由阿贝尔群和自由{{nowrap|<math>\mathbb Z</math>-模}}是等价的概念：每个自由阿贝尔群（算上其上的乘法运算）都是自由{{nowrap|<math>\mathbb Z</math>-模}}，每个自由{{nowrap|<math>\mathbb Z</math>-模}}都来自某个自由阿贝尔群。{{r|ama}}另一种结合自由阿贝尔群的方法是，{{nowrap|<math>\Z</math>-模}}的[[模的张量积|张量积|]]。两个自由阿贝尔群的张量积仍是自由阿贝尔群，基是原先两群之基的[[笛卡儿积]]。{{r|corner}}

自由阿贝尔群的许多重要概念都可以泛化到[[主理想域]]上的自由模。例如，主理想域上自由模的子模也自由，{{harvtxt|Hatcher|2002}}认为，这一事实使得[[同调]]机制可以“自动泛化”到这些模。{{r|hatcher}}另外，“每个[[投射模|投射]]{{nowrap|<math>\Z</math>-模}}都自由”这一定理的泛化，也是同样的方法。{{r|vermani}}

==性质==
===泛性质===
基为<math>B</math>的自由阿贝尔群<math>F</math>有以下[[泛性质]]：对每个从基到阿贝尔群<math>A</math>的函数<math>f</math>，都有唯一的从<math>F</math>到<math>A</math>的[[群同态]]，其扩展了<math>f</math>。{{r|fuchs}}{{r|lee}}这里的群同态是群之间的映射，并与群积定律一致：映射与积操作的先后不会改变结果。根据泛性质的一般属性，这表明基为<math>B</math>的自由阿贝尔群在群同态意义上是唯一的。因此，泛性质可用作基为<math>B</math>的自由阿贝尔群的定义。据这一性质定义的群的唯一性表明，所有其他定义都等价。{{r|hungerford}}

因这条性质，自由阿贝尔群才是“自由”的：它们是[[阿贝尔群范畴]]的[[自由对象]]，这个[[范畴 (数学)|范畴]]的对象是阿贝尔群，同态是其态射。基（集合）到对应的自由阿贝尔群（阿贝尔群）的映射是[[函子]]，即范畴间保持结构的映射，是阿贝尔群到集合的[[遗忘函子]]的[[伴随函子|伴随]]。{{r|blass}}只有两种自由阿贝尔群是[[自由群]]：基为空集的（秩为0，是[[平凡群]]），以及基只有一个元素的（秩为1，是无限[[循环群]]）。{{r|lee}}{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Exercise&nbsp;4, p.&nbsp;75}}其他阿贝尔群都不是自由群，因为<math>a</math>、<math>b</math>若是基中的不同元素，则自由群中<math>ab\ne ba</math>，而自由阿贝尔群的积符合交换律。在一般[[群范畴]]中，<math>ab=ba</math>是一种约束，而在阿贝尔群范畴中则是必要性质。{{sfnp|Hungerford|1974|p=70}}

===秩===
同一自由阿贝尔群的两个基有相同的[[势 (数学)|势]]，所以基的势形成了群的[[不变量]]，称作秩。{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Theorem&nbsp;1.2, p.&nbsp;73}}{{r|hm}}两个自由阿贝尔群同构，当且仅当它们的秩相同。{{r|fuchs}}自由阿贝尔群是[[有限生成模|有限生成]]的，当且仅当其秩为有限数<math>n</math>，这时群与<math>\mathbb{Z}^n</math>同构。{{r|machi}}

这样表示的秩可以泛化到阿贝尔群。[[阿贝尔群的秩]]<math>G</math>定义为自身的自由阿贝尔子群的秩<math>F</math>，且[[商群]]<math>G/F</math>是[[挠群]]。等价地，它也是<math>G</math>的[[极大与极小元|极大]]子集（生成了自由子集）的势。秩是群不变量：与子群的选择无关。{{r|rotman}}

===子群===
[[理查德·戴德金]]{{r|johnson}}证明了自由阿贝尔群的每个子群也是自由阿贝尔群，这是类似的Nielsen–Schreier定理的前身：[[自由群]]的子集仍是自由群，是[[循环群基本定理]]（无限循环群的非平凡子群都是无限循环群）的推广，证明要用到[[选择公理]]。{{r|blass}}运用了[[佐恩引理]]（众多与选择公理等价的假设之一）的证明可见[[塞尔日·兰]]的《代数》。{{r|lang}}[[所罗门·莱夫谢茨]]和Irving Kaplansky认为，用[[良序原理]]代替佐恩引理可以得到更易懂的证明。{{r|kap}}

在有限生成自由阿贝尔群的情况下，证明不需用到选择公理，结果更精确。若<math>G</math>是有限生成自由阿贝尔群<math>F</math>的子群，则<math>G</math>是自由的；<math>F</math>有基<math>(e_1, \ldots, e_n)</math>，有正整数<math>d_1|d_2|\ldots|d_k</math>（每个数除以下一个数）使<math>(d_1e_1,\ldots, d_ke_k)</math>构成<math>G</math>的基。另外，序列<math>d_1,d_2,\ldots,d_k</math>只取决于<math>F</math>、<math>G</math>，与基无关。{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Theorem&nbsp;1.6, p.&nbsp;74}}定理存在部分的[[构造性证明]]可由任何计算整数矩阵的[[史密斯标准形]]的算法给出。{{sfnp|Johnson|2001|pp=71–72}}唯一性来自这样的事实：<math>\forall r\le k</math>，秩为<math>r</math>的矩阵的[[子式]]的[[最大公因数]]在计算史密斯标准形时不变，且是计算结束时<math>d_1\cdots d_r</math>的积。{{r|norman}}

===扭化与可除===
所有自由阿贝尔群都是[[扭化|无挠的]]，也就是说没有非单位元素<math>x</math>和非零整数<math>n</math>使<math>nx=0</math>。
相反地，所有有限生成无挠阿贝尔群都是自由阿贝尔群。{{r|lee}}{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Exercise&nbsp;9, p.&nbsp;75}}

有理数的加群<math>\mathbb{Q}</math>是无挠阿贝尔群（不是有限生成群），但不是自由阿贝尔群。{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Exercise&nbsp;10, p.&nbsp;75}}原因之一是它不[[可除群|可除]]：<math>\forall x\in\mathbb{Q}</math>、<math>\forall n\in\mathbb{Z}\ (n\ne 0)</math>，可以将<math>x</math>表示为另一个元素<math>y=x/n</math>的标量倍数<math>ny</math>。相反地，非平凡自由阿贝尔群不可除，因为自由阿贝尔群中，基元素不能表示为其他元素的标量倍数。{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Exercise&nbsp;4, p.&nbsp;198}}

===对称性===
群的对称性可以描述为[[自同构]]，是群到自身的同态的[[反函数]]。非阿贝尔群中，又可以分为 [[内自同构]]和[[外自同构]]，但阿贝尔群的所有非平凡自同构都是外同构。它们形成了给定群的[[自同构群]]，运算为[[复合函数|复合]]。秩为有限数<math>n</math>的自由阿贝尔群的自同构群是[[一般线性群]]<math>\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})</math>，可以具体描述为（为自由自同构群的一个特定基）<math>n\times n</math>可逆整数矩阵集合，运算为[[矩阵乘法]]。它们在自由阿贝尔群<math>\Z^n</math>上作为对称性的[[群作用|作用]]如同矩阵-向量乘法。{{r|bridvog}}

两个无限秩自由阿贝尔群的自同构群有相同的一阶理论，当且仅当它们的秩从[[二阶逻辑]]来看有相同的[[基数 (数学)|基数]]。这个结果取决于自由阿贝尔群的[[对合]]的结构，即作为自身逆的自同构。给定自由阿贝尔群的基，可以找到将任一组不相交的基元素对映射到彼此的对合，或者否定基元素的任何选定子集，而让其他基元素固定不变的对合。相反地，对某个自由阿贝尔群的每个对合，都可以找到一个基，基上所有元素都被对合成对地交换、否定或保持不变。{{r|tolstykh}}

===与其他群的关系===
如果自由阿贝尔群是两个群的商：<math>A/B</math>，则<math>A</math>是直和<math>B\oplus A/B</math>。{{r|fuchs}}

给定任意阿贝尔群<math>A</math>，则一定存在自由阿贝尔群<math>F</math>和一个<math>F</math>到<math>A</math>的[[满射]]群同态。一种构建到给定群<math>A</math>的满射是使<math>F=\mathbb{Z}^{(A)}</math>为<math>A</math>上的自由阿贝尔群，表示为形式和。接着要定义满射，可以
把<math>F</math>中的形式和映射到对应的<math>A</math>中成员的和。也就是说，满射映射
<math display=block>\sum_{\{x\mid a_x\ne 0\}} a_x e_x \mapsto \sum_{\{x\mid a_x\ne 0\}} a_x x</math>
，其中<math>a_x</math>是给定形式和中基元素<math>e_x</math>的整系数，
第一个和在<math>F</math>中，第二个和在<math>A</math>中。{{r|hm}}{{sfnp|Hungerford|1974|loc=Theorem&nbsp;1.4, p.&nbsp;74}}这个满射是唯一可以扩展函数<math>e_x\mapsto x</math>的群同态，因此其构造可以视作泛性质的一个例子。

若<math>F</math>、<math>A</math>的定义如上所述，则<math>F</math>到<math>A</math>的满射的[[核 (代数)|核]]<math>G</math>也是自由阿贝尔群，因为它是<math>F</math>的子群（映射到单位元的元素的子群）。
因此，这些群形成了[[短正合序列]]
<math display=block>0\to G\to F\to A\to 0</math>
，其中<math>F</math>、<math>G</math>都是自由阿贝尔群，<math>A</math>与[[商群]]<math>F/G</math>同构。这是<math>A</math>的一个[[自由分解]]。{{r|vick}}另外，若假设选择公理成立的话，{{r|projective-choice}}自由阿贝尔群精确对应[[阿贝尔群范畴]]中的[[投射模|投射对象]]。{{r|fuchs}}{{r|griffith}}

==应用==
===代数拓扑===
{{main|链 (代数拓扑)}}
[[代数拓扑]]中，<math>k</math>维[[单纯形]]的形式和被称为<math>k</math>-链，自由阿贝尔群有一系列<math>k</math>-单纯形，其基形成链群。{{r|dctm}}单纯形一般取自某些[[拓扑空间]]，例如[[单纯复形]]中的<math>k</math>-单纯形集合，或[[流形]]中的[[奇异同调|奇异]]<math>k</math>-单纯形集合。任何<math>k</math>维单纯形都有边界，可以表示为<math>(k-1)</math>维单纯形的形式和，自由阿贝尔群的泛性质允许边界算子扩展为<math>k</math>-链到<math>(k-1)</math>-链的群同态。由边界算子这样联接的链群系统形成了[[链复形]]，对其的系统研究催生了[[同调论]]。{{r|edelsbrunner}}

===代数几何与复分析===
{{main|除子}}
[[File:Z4 over z4minus1.jpg|thumb|upright=1.3|[[有理函数]]<math>z^4/(z^4-1)</math>在0处由一个4阶零点（图中中心处的黑点），在<math>\pm 1</math>、<math>\pm i</math>的四个点处有简单极点（4个白点）。它可以表示为（在标量意义上的）除子<math>4e_0-e_1-e_{-1}-e_i-e_{-i}</math>，其中<math>e_z</math>是复数上的自由阿贝尔群中复数<math>z</math>的基元素。]]
[[复数 (数学)|复数]]上的每个[[有理函数]]都可以与一个有符复数<math>c_i</math>多重集相联系，<math>c_i</math>是函数的[[极点 (复分析)|极点]]（函数值取0或无限的点）。多重集中点的重数<math>m_i</math>是为函数零点时的阶，或为轴时阶的反。
接着，函数本身可以从数据中还原为[[标量 (数学)|标量]]函子，即
<math display=block>f(q)=\prod (q-c_i)^{m_i}</math>
如果这些多重集被解释为复数上自由阿贝尔群的成员，则两个有理函数的积或商对应两个群成员的和或差。因此，有理函数乘法群可以函子化为复数乘法群（每个函数的关联标量函子）和复数上的自由阿贝尔群。在无穷收敛于有限值的有理函数（[[黎曼球面]]上的[[亚纯函数]]）形成了群的子群，其中重数之和为0。{{r|dw}}

这一构造可以泛化到[[代数几何]]中，作为[[除子]]的一种表示。一般来说，除子的几种定义都形成了[[代数簇]]的余维1子簇的抽象，也就是某个[[多项式方程组]]的解集。若方程组自由度为1（解可以形成[[代数曲线]]或[[黎曼曲面]]）、且包含孤点时，解集是一个余维为1的子簇，除子是簇中的点构成的一个有符多重集。{{r|acrs}}紧黎曼曲面上的亚纯函数有有限多的极点，它们的除子在面上的点上形成了一个自由阿贝尔群的子群，函数的乘除对应群元素的加减。自由阿贝尔群的元素作为除子，重数和必为0，且要符合由曲面决定的特定附加约束。{{r|dw}}

===群环===
有[[整数]][[群环]]<math>\Z[G]</math>，对任何群<math>G</math>都是环，其加法群是<math>G</math>上的自由阿贝尔群。{{r|stein-szabo}}若<math>G</math>是[[有限集|有限]]阿贝尔群，则<math>\Z[G]</math>中[[可逆元]]的乘法群的结构与有限群直积的结构、与有限生成的自由阿贝尔群的结构相同。{{r|higman|ayoub-ayoub}}
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 }}. For the connection to [[free object]]s, see Corollary 1.2. Example 7.1 provides a model of set theory without choice, and a non-free projective abelian group <math>P</math> in this model that is a subgroup of a free abelian group <math display=inline>\bigl(\mathbb{Z}^{(A)}\bigr)^n</math>, where <math>A</math> is a set of atoms and <math>n</math> is a finite integer. Blass writes that this model makes the use of choice essential in proving that every projective group is free; by the same reasoning it also shows that choice is essential in proving that subgroups of free groups are free.</ref>

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[[Category:阿贝尔群论]]
[[Category:群的性质]]
[[Category:自由代数结构]]