查看“︁自由度 (统计学)”︁的源代码

{{Expert|time=2015-12-14T03:50:01+00:00}}
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|G1 = Math
|1=zh:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數;
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在[[統計學]]中，'''自由度'''（{{Lang-en|degree of freedom, df}}）是指当以样本的[[统计量]]来估计[[总体]]的[[参数]]时，样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度<ref>{{cite web |url=http://www.animatedsoftware.com/statglos/sgdegree.htm |title=Degrees of Freedom |work="Glossary of Statistical Terms" |accessdate=2008-08-21 |publisher=Animated Software |archive-date=2018-09-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180917125016/http://www.animatedsoftware.com/statglos/sgdegree.htm }}</ref>。一般來說，自由度等於獨立变量数減掉其衍生量數<ref>{{cite journal|title=Degrees of Freedom|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-educational-psychology_1940-04_31_4/page/253|last=Walker|first=H. M.|journal=Journal of Educational Psychology|volume=31|issue=4|date=April 1940 |pages=253–269|doi=10.1037/h0054588}}</ref>；舉例來說，[[方差]]的定義是樣本減平均值（一個由樣本決定的衍生量）的平方之和，因此對''N''個隨機樣本而言，其自由度為''N-1''。<ref>{{cite web |last=Lane |first=David M. |url=http://davidmlane.com/hyperstat/A42408.html |title=Degrees of Freedom |work=HyperStat Online |accessdate=2008-08-21 |publisher=Statistics Solutions |archive-date=2018-06-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180628174246/http://davidmlane.com/hyperstat/A42408.html }}</ref>

數學上，自由度是一個隨機[[向量]]的維度數，也就是一個向量能被完整描述所需的最少[[单位向量|單位向量]]數。舉例來說，從電腦螢幕到廚房的位移能夠用三維向量<math>a\widehat{i}+b\widehat{j}+c\widehat{k}</math>來描述，因此這個位移向量的自由度是3。自由度也通常與這些向量的座標平方和，以及[[卡方分佈|卡方分布]]中的參數有所關聯。

== 範例 ==
* 若存在兩個變數<math>a</math>, <math>b</math>，而 <math>a+b=6</math>那麼他的自由度為1。因為其實只有<math>a</math>才能真正的自由變化，<math>b</math>會被<math>a</math>選值的不同所限制。
* 估计总体的[[平均数]]（<math>\mu\,</math>）时，由于样本中的<math>n</math>个数都是相互独立的，任一個尚未抽出的數都不受已抽出任何数值的影響，所以自由度为<math>n</math>。
* 估计总体的[[方差]]（<math>\sigma^2\,</math>）时所使用的統計量是樣本的方差<math>s^2</math>，而<math>s^2</math>必須用到樣本平均數<math>\overline x</math>來計算。<math>\overline x</math>在抽樣完成後已確定，所以大小為<math>n</math>的樣本中只要<math>n-1</math>个数确定了，第<math>n</math>個數就只有一個能使樣本符合<math>\overline x</math>的數值。也就是說，樣本中只有<math>n-1</math>個數可以自由變化，只要確定了這<math>n-1</math>個數，方差也就确定了。这裡，平均數<math>\overline x</math>就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，樣本方差<math>s^2</math>的自由度为<math>n-1</math>。
* 统计模型的自由度等于可自由取值的[[自变量]]的个数。如在[[回歸分析|回归方程]]中，如果共有<math>p</math>个参数需要估计，则其中包括了<math>p-1</math>个自变量（与截距对应的自变量是[[常量]]）。因此该回归方程的自由度为<math>p-1</math>。
* 如果用刀剖柚子，在北极点沿经线方向割3刀，得6个角。这6个角可视为3对。6个角的平均角度一定是60度。其中半边3个角中，只会有2个可以自由选择，一旦2个数值确定第3个角也会唯一地确定。在总和已知的情况下，切分角的个数比能够自由切分的个数大1。

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}


{{統計學}}

[[Category:概率与统计]]