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{{NoteTA
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|G2 = Math
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在[[数学]]分支[[抽象代数]]中，'''自由布尔代数'''是[[布尔代数]] <''B'',''F''>，使得集合 ''B'' (叫做“载体”)有其中元素叫做[[生成集合|生成元]]的[[子集]]。生成元满足下列性质:
*不是生成元的每个 ''B'' 的元素都可被表达为[[生成集合|生成元]]的使用 ''F'' 的元素的有限组合，''F'' 是[[运算]]的集合；
*生成元尽可能的独立，因为对从生成元使用 ''F'' 中运算形成的有限[[项]]成立的任何等式，也要对于所有可能的布尔代数的所有元素成立。

==例子==

<imagemap>
Image:Logical connectives Hasse diagram.svg|thumb|right|300px|有两个产生元 A 和 B 的自由布尔代数的[[哈斯图]]。采用 A 为"John 高" 和 B 为 "Mary 富"。原子是在 FALSE 紧上面的行中的四个元素。
rect 326 28 416 200 [[恆真式|X or ¬X]]
rect 81 233 166 409 [[谢费尔竖线|¬A or ¬B]]
rect 260 231 349 409 [[逆命题|A or ¬B]]
rect 393 230 481 409 {{tsl|en|Material implication|¬A or B}}
rect 574 232 663 408 [[逻辑或|A or B]]
rect 13 436 103 617 [[逻辑非|¬B]]
rect 147 438 235 617 [[逻辑非|¬A]]
rect 279 440 368 616 [[逻辑异或|A xor B]]
rect 375 440 464 617 {{tsl|en|Logical biconditional|A xnor B}}
rect 507 439 595 617 [[命题|A]]
rect 639 438 732 617 [[命题|B]]
rect 79 647 168 826 [[逻辑或非|¬A and ¬B]]
rect 260 647 349 826 [[实质非蕴涵|A and ¬B]]
rect 392 646 482 826 {{tsl|en|Converse nonimplication|¬A and B}}
rect 574 646 663 826 [[逻辑与|A and B]]
rect 327 853 417 1035 [[矛盾|X and ¬X]]
desc none
</imagemap>
自由布尔代数的生成元可以代表独立[[命题]]。例如，我们可以考虑两个命题 "John 高" 和 "Mary 富"。这生成了有四个[[原子 (序理论)|原子]]的自由布尔代数，它们就是
#John 高且 Mary 富
#John 高且 Mary 不富
#John 不高且 Mary 富
#John 不高且 Mary 不富

布尔代数的其他元素接着是这些原子的[[逻辑析取]]，比如 "John 高且 Mary 不富，或者 John 不高且 Mary 富"。除此之外还有一个元素 FALSE，它不是原子的析取(尽管它可以被认为是空析取；就是说没有原子的析取)。

这个例子产生了有 16 个元素的布尔代数；一般的说，对于有限的 ''n''，有 ''n'' 个生成元的自由布尔代数有 2<sup>''n''</sup> 个原子，因此有 <math>2^{2^n}</math> 个元素。

对于[[无限集合|无限]]多个生成元，情况是非常相似的，除了没有原子之外。布尔代数的所有元素都是有限多个生成命题的组合；两个这种元素被认为是相同的如果它们是逻辑等价的。

==范畴论定义==
更加正式的使用[[范畴论]]的概念，在生成元集合 ''S'' 上自由布尔代数是一个有序对 (&pi;,''B'')，这里有 
#&pi;: ''S'' &rarr; ''B'' 是映射，
#''B'' 是布尔代数， 
并且关于这个性质是通用的。这意味着对于任何布尔代数 ''B''<sub>1</sub> 和映射 &pi;<sub>1</sub>: S &rarr; ''B''<sub>1</sub>，有一个唯一的[[同态]] ''f'': ''B'' &rarr; ''B''<sub>1</sub> 使得 

:<math> \pi_1 = f \circ \pi. </math>

这个[[泛性质]]也可以公式化为叫做[[逗号范畴]]的初始性质。

“唯一”（在同构的意義下）是从这个泛性质立即得出的性质。注意映射 &pi; 可以被证明是单射的。所以任何自由布尔代数 ''B'' 都这样的性质，有一个 ''B'' 的[[子集]] ''S''，叫做 ''B'' 的'''生成元'''集合，使得从 ''S'' 到布尔代数 ''B''<sub>1</sub> 的任何映射唯一的扩展为从 ''B'' 到 ''B''<sub>1</sub> 的同态。

==拓扑实现==
有κ个[[生成集合|生成元]]的自由布尔代数，这里的κ是有限或无限的[[基数 (数学)|基数]]，可以被实现为 {0,1}<sup>κ</sup>的[[闭开集|闭开]]的[[子集]]的搜集，给定[[乘积拓扑]]假定 {0,1} 有[[离散拓扑]]。对于每个α&lt;κ，第α个生成元是其第α个坐标是 1 的 {0,1}<sup>κ</sup>的所有元素的集合。特别是，有 <math>\aleph_0</math> 个生成元的自由布尔代数是[[康托尔空间]]的所有闭开子集的搜集。另人惊奇的，这个搜集是[[可数集合|可数]]的。事实上，尽管有有限 ''n'' 个生成元的布尔代数，''n'' 有[[势 (数学)|势]] <math>2^{2^n}</math>，带有 <math>\aleph_0</math> 个生成元的自由布尔代数有势 <math>\aleph_0</math>。

自由布尔代数的[[拓扑学|拓扑]]方式详情请参见[[Stone布尔代数表示定理]]。

==引用==
*[[Paul Halmos]] and Steven Givant (1998) ''Logic as Algebra''. [[Mathematical Association of America]].
*[[Saunders Mac Lane]] (1999) ''Algebra'', 3d. ed. [[American Mathematical Society]]. ISBN 0-821-81646-2.
* Stoll, R. R., 1963. ''Set Theory and Logic'', chpt. 6.7. Dover reprint 1979.

==参见==
*[[自由对象]]

[[Category:布尔代数|Z]]
[[Category:自由代数结构]]