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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[數學]]中，'''自由對象'''是[[抽象代數]]中的基本概念。就其通於各種[[代數結構]]（帶有限操作）而言，它也屬[[泛代數]]的一支，例子包括[[自由群]]、[[張量代數]]與[[自由格]]。在[[範疇論]]的框架下，可以將自由對象推廣為'''自由函子'''，這是[[遺忘函子]]的左[[伴隨函子]]。

==自由函子==
[[範疇論]]為自由對象提供了普遍框架。考慮一種[[代數結構]]（如[[群]]、[[模]]等等）的範疇<math>\mathcal{C}</math>。其上具有一個[[遺忘函子]]<math>U: \mathcal{C} \to \mathbf{Set}</math>，此函子將一個對象映至其下的集合；換言之，此函子「遺忘」所有代數操作。

若<math>U</math>有左[[伴隨函子]]<math>F: \mathbf{Set} \to \mathcal{C}</math>，則稱之為<math>\mathcal{C}</math>的'''自由函子'''。<math>F(X)</math>可以設想為由集合<math>X</math>生成的自由對象，此時也有映射<math>X \to F(X)</math>（在此[[濫用符號|濫用了符號]]：其實<math>F(X)</math>是個代數結構，而<math>X</math>卻是集合），此映射可理解為從生成元到自由對象的包含映射。

對於更一般的遺忘函子，也能考慮相應的自由函子，例如從<math>k</math>-[[向量空間]]映至其[[張量代數]]的函子，便是從<math>k</math>-代數映至<math>k</math>-向量空間的遺忘函子之左伴隨函子。在此意義下，張量代數有時也稱為[[自由代數]]。

==例子==
* [[自由半群]]
* [[自由么半群]]
* [[自由群]]
* [[自由阿貝爾群]]
* [[自由模]]
* [[自由格]]
* [[自由代數]]

{{ModernAlgebra}}

[[Category:抽象代数]]
[[Category:自由代数结构| ]]
[[Category:词语组合]]