查看“︁自由变量和约束变量”︁的源代码

在[[数学]]和其他涉及[[形式语言]]的学科中，包括[[数理逻辑]]和[[计算机科学]]，'''自由变量'''是在[[表达式]]中用于表示一个位置或一些位置的[[符号]]，某些明确的{{en-link|代换|Substitution_(logic)}}可以在其中发生，或某些运算（比如[[总和]]或[[量化]]）可以在其上发生。这个概念有关于'''占位符'''（它是以后会被{{tsl|en|String literal|文字串}}所替换），或表示未指定符号的[[通配符]]，但更加深入和复杂。

变量x成为'''约束变量'''，比如

:对于所有 x，(x + 1)<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + 2x + 1。

或

:存在x，使得 x<sup>2</sup> = 2。

在任何这种命题中，是否使用x或其他什么字母在逻辑上不重要。但是，在复合[[命题]]的其他地方再次使用同一个字母可能导致冲突。就是说，自由变量变成了约束的，并在支持公式的格式化的进一步工作中在某种意义上“退休”了。

==例子==
在陈述'''自由变量'''和'''约束变量'''（或'''虚变量'''）的严格定义之前，我们會給出一些例子，使这两个概念比定义看起來更加清楚：

在表达式
:<math>\sum_{x=1}^{10} f(x,y),</math>
中y是自由变量而x是约束变量（或虚变量）；因此这个表达式的值依赖于y的值。

在表达式
:<math>\sum_{y=1}^{10} f(x,y),</math>
中x是自由变量而y是约束变量；因此这个表达式的值依赖于x的值。

在表达式
:<math>\int_0^\infty x^{y-1} e^{-x}\,dx,</math>
中y是自由变量而x是约束变量；因此这个表达式的值依赖于y的值。

在表达式
:<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},</math>
中x是自由变量而h是约束变量；因此这个表达式的值依赖于x的值。

在表达式
:<math>\forall x\ \exists y\ \varphi(x,y,z),</math>
中z是自由变量而x和y是约束变量；因此这个表达式的[[真值]]依赖于z的值。

===变量约束算子===
下列的

:<math>\sum_{x=1}^{10}\qquad\qquad \int_0^\infty\cdots\,dx\qquad\qquad \lim_{x\to 0}\qquad\qquad \forall x</math>

都是'''变量约束算子'''，它们都约束变量x。

==形式解释==

变量约束机制出现在数学、逻辑和计算机科学中的不同情況中，但是在所有情形下它们是其中的表达式和变量的纯粹[[语法]]性质。本节中我们用叶子节点是变量、函数常量或谓词常量，而节点是逻辑运算符的树，识别表达式来总结语法。变量约束的运算符是几乎出现在所有形式语言中的[[逻辑运算符]]。没有它们的语言实际上要么是非常缺乏表達能力，要么非常难于使用。约束的运算符 Q 接受两个参数：变量v和表达式P，把 Q 应用于它的参数時就會生成新表达式 Q(v, P) 。约束运算符的意义由这个语言的[[语义]]提供而不是我们现在关心的。

<div style="float:left; width:251px; border:1px; border-style:solid; padding:2px; margin-right:10px; text-align:center; font-size:smaller">
[[File:IMG_binding.gif]]
<br><math>\forall x\, (\exists y\, A(x) \vee B(z)) </math>
</div>
变量约束有关于三个事情：变量v，这个变量在表达式中的位置a，和形成 Q(v, P) 的节点n。注意: 我们定义在表达式中位置为在这个语法树中的叶子节点。变量约束在这个位置在节点n之下的时候发生。

举个數學的例子，考虑定义了一个函数的表达式

::<math> (x_1, \ldots , x_n) \mapsto \operatorname{t}</math>

这里的t是一个表达式。t可以包含某些、所有的、或者不包含x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>的任意一個，并可以包含其他变量。在这种情况下我们称函数的定义约束了这些变量 x<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>。

在[[λ演算]]中，如果x是项M = &lambda; x. T中的约束变量，而且是T中的自由变量，则我们称x在M中是约束的，在T中是自由的。如果T包含一个子项 &lambda; x . U，则x在这个项中是再约束的。这种嵌套的、内层的x的约束被称为外层约束的“阴影”。 x在U中的出现是新x的自由出现。

在程序顶层的变量约束在技术上在它们所约束的项之内是自由变量，但是经常特殊对待，因为它们可以被编译为固定地址。类似的，约束于[[递归函数]]的标识符被称为在它归属的函数体内是自由变量但要特殊对待。

封闭项是不包含自由变量的项。

==参见==

*[[闭包 (计算机科学)]]
*[[闭包 (数学)]]
*[[lambda 提升]]
*[[作用域 (编程)]]
*[[组合子逻辑]]
*[[句子 (数理逻辑)]]
*[[原子句子]]
*[[开放句子]]

==引用==

''A small part of this article was originally based on material from the Free On-line Dictionary of Computing and is used with permission under the GFDL.  Most of what'' now ''appears here is the result of later editing.''

[[Category:數理邏輯|Z]]
[[Category:數學表示法]]