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在[[數學]]的[[範疇論]]中，'''自然變換'''是將一個[[函子]]變為另一個函子，使相關[[範疇 (數學)|範疇]]的內在結構（就是[[態射]]間的複合）得以保持。因此可以將自然變換視為「函子間的態射」。這一看法其實也能形式化，定義出[[函子範疇]]。自然變換與範疇及函子一樣，都是範疇論很基本的概念。

==定義==
設''C''和''D''是範疇，''F''和''G''是''C''和''D''之間的[[函子]]。一個從''F''到''G'' 的'''自然變換'''η，對''C''中每個[[對象 (範疇論)|對象]]，給出一個在''D''的對象間的[[態射]]{{nobreak|1=η<sub>''X''</sub> : ''F''(''X'') → ''G''(''X'')}}，稱為η在''X''處的'''分量'''（'''component'''），使得對''C''中每個態射{{nobreak|1=''f'' : ''X'' → ''Y''}}都有：
:<math>\eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X</math>

上式可表達為[[交換圖表]]：

[[File:Natural transformation.svg|175px]]

如果''F''和''G''都是[[反變函子]]，將圖表中的水平箭號方向反轉。若η是從''F''到''G'' 的自然變換，可記為{{nobreak|1=η : ''F'' → ''G''}}或{{nobreak|1=η : ''F'' ⇒ ''G''}}。這也可表達為態射族{{nobreak|1=η<sub>''X''</sub> : ''F''(''X'') → ''G''(''X'')}}在''X''中是'''自然'''的。

若對''C''中每個對象''X''，態射η<sub>''X''</sub>是在''D''中的[[同構]]，則稱η為'''自然同構'''。對兩個函子''F''和''G''，若存在從''F''到''G'' 自然同構，則稱''F''和''G''為'''自然同構的'''，或簡稱為'''同構的'''。

==自然變換的運算==
若{{nobreak|1=η : ''F'' → ''G''}}和{{nobreak|1=ε : ''G'' → ''H''}}是函子{{nobreak|1=''F'',''G'',''H'' : ''C'' → ''D''}}間的自然變換，則可以將之複合得到自然變換{{nobreak|1=ε ⋅ η : ''F'' → ''H''}}，其分量為{{nobreak|1=(ε ⋅ η)<sub>''X''</sub> = ε<sub>''X''</sub>η<sub>''X''</sub>}}。這種「垂直複合」有[[結合律]]，並有單位元。這個複合運算可以使全部函子{{nobreak|1=''C'' → ''D''}}形成一個範疇。（見下節[[#函子範疇|函子範疇]]。）

自然變換也有「水平複合」。若{{nobreak|1=η : ''F'' → ''G''}}是函子{{nobreak|1=''F'',''G'' : ''C'' → ''D''}}間的自然變換，{{nobreak|1=ε : ''J'' → ''K''}}是函子{{nobreak|1=''J'',''K'' : ''D'' → ''E''}}間的自然變換，則可用函子間的複合得出自然變換間的複合<math>\eta\circ\epsilon : JF \to KG</math>。這個運算也有[[結合律]]，並有單位元，單位元和「垂直複合」的單位元相同。以上兩種複合之間有一條恆等式，這條恆等式將垂直和水平複合兩者交換。

若{{nobreak|1=η : ''F'' → ''G''}}是函子{{nobreak|1=''F'',''G'' : ''C'' → ''D''}}間的自然變換，而{{nobreak|1=''H'' : ''D'' → ''E''}}是另一個函子，那麼自然變換{{nobreak|1=''H''η : ''HF'' → ''HG''}}定義為

:<math> (H \eta)_X = H \eta_X. </math>

若{{nobreak|1=''K'' : ''B'' → ''C''}}是一個函子，自然變換{{nobreak|1=η''K'' : ''FK'' → ''GK''}}定義為

:<math> (\eta K)_X = \eta_{K(X)}.\, </math>

==函子範疇==

{{Main|函子範疇}}
設''C''是一個範疇，''I''是一個[[小範疇]]，那麼可以形成[[函子範疇]] ''C<sup>I</sup>''，其對象為所有從''I''到''C''的函子，而其態射為這些函子間的自然變換。如此形成的是一個範疇，因為對任何函子''F''都有一個單位自然變換{{nobreak|1=1<sub>''F''</sub> : ''F'' → ''F''}}（對每個對象''X''都給出''F''(''X'')上的單位態射。），而兩個自然變換的複合（上述的「縱向複合」）也是一個自然變換。

函子範疇''C<sup>I</sup>''中的[[同構]]恰好是自然同構，也就是說一個自然變換{{nobreak|1=η : ''F'' → ''G''}}是自然同構，當且僅當存在一個自然變換{{nobreak|1=ε : ''G'' → ''F''}}，使得{{nobreak|1=ηε = 1<sub>''G''</sub>}}及{{nobreak|1=εη = 1<sub>''F''</sub>}}。

==參考==
* {{citation| first = Saunders | last = Mac Lane | authorlink = Saunders Mac Lane | year = 1998 | title = [[Categories for the Working Mathematician]] | series = Graduate Texts in Mathematics '''5''' | edition = 2nd | publisher = Springer-Verlag | isbn = 0-387-98403-8}}
* {{citation|first1=Saunders|last1=MacLane|authorlink1=Saunders MacLane|first2=Garrett|last2=Birkhoff|authorlink2=Garrett Birkhoff|title=Algebra|edition=3rd|publisher=AMS Chelsea Publishing|year=1999|isbn=0-8218-1646-2}}.

{{範疇論}}
[[分類:函子|Z]]