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已经提出了多种使用[[集合论]]定义[[自然数]]的方式。

==当代标准==

在 [[ZFC]] 和有关理论中，自然数的集合论定义是[[约翰·冯·诺伊曼]]的[[序数]]定义:
# 定义[[空集]]为[[零]]。
# 定义 ''n'' 的[[后继函数|后继]]为 ''n'' ∪ {''n''}

[[无穷公理]]接着确保所有自然数的集合 '''N''' 存在。容易证明上述定义满足[[皮亚诺算术公理]]。它也有一個特別的性質（在其他定義中不一定如此），就是每个自然数 ''n'' 都是恰好含 ''n'' 个元素的集合，即{0,1,2,...,''n''-1}。

==最老的定义==

[[弗雷格]]（和[[伯兰特·罗素]]独立的）提议了如下定义。非形式的，每个自然数 ''n'' 被定义为其每个成员都有 ''n'' 个元素的集合。更形式的说，一个自然数是在[[等势]]的[[关系]]下的所有集合的[[等价类]]。这看起来是循环定义其实不是。 

更加形式的说，首先定义 0 为 <math>\{\emptyset\}</math>（这是其唯一元素是[[空集]]的集合）。接着给定任何集合 ''A''，定义:
: <math>\sigma(A)</math> 为 <math>\{x \cup \{y\} \mid x \in A \wedge y \not\in x\}</math>。
σ(''A'') 是通过向 ''A'' 的所有成员 ''x'' 增加一个新元素而获得的集合。<math>\sigma</math> 是[[后继函数]]的集合论运算实现（operationalization）。有了函数 σ ，就可以说 1 = <math>\sigma(0), </math>2 = <math>\sigma(1)</math>, 3 = <math>\sigma(2)</math>，以此类推。这个定义有预期的效果：我们所定义的 3 实际上是其成员都有三个元素的集合。

如果全集 ''V'' 有有限势 ''n''，则 <math>n+1 = \sigma(V)= \emptyset</math>, <math>\sigma(\emptyset)=\emptyset</math>，自然数的序列就此终结。所以如果 Frege-Russell 自然数要满足[[皮亚诺公理]]，所用到的公理化集合论必须包括[[无穷公理]]。自然数的集合可以被定义为包含 0 并[[闭包 (数学)|闭合]]在 σ 下的所有集合的交集。

在[[朴素集合论]]、[[类型论]]和根源于类型论的集合论如[[新基础集合论]]和相关系统中，這個定義是可行的。但是它在[[公理化集合论]] [[ZFC]] 和相关系统中不可行，因为在这种系统中在[[等势]]下的[[等价类]]作為集合而言太大了。這是由于[[罗素悖论]]的原因，在 ZFC 中没有[[全集]] ''V''。

Hatcher（1982）从一些基础系统，包括 [[ZFC]] 和[[范畴论]]推导出了皮亚诺公理。他也从[[弗雷格]]的 ''Grundgesetze'' 系统出發，使用现代符号和[[自然演绎]]谨慎的推导出这些公理。当然，[[罗素悖论]]证明了这个系统是不自恰的，但是 [[George Boolos]]（1998）和 Anderson 与 Zalta（2004）展示了如何修补它。

==参见==
* [[皮亚诺算术]]
* [[ZFC]]
* [[公理化集合论]]
* [[新基础集合论]]

==引用==
* Anderson, D. J., and [[Edward Zalta]], 2004, "Frege, Boolos, and Logical Objects," ''Journal of Philosophical Logic 33'': 1-26.
* [[George Boolos]], 1998. ''Logic, Logic, and Logic''.
*Hatcher, William S., 1982. ''The Logical Foundations of Mathematics''. Pergamon. In this text, '''S''' refers to the Peano axioms.
*Holmes, Randall, 1998. ''[https://web.archive.org/web/20110411041046/http://math.boisestate.edu/%7Eholmes/holmes/head.pdf  Elementary Set Theory with a Universal Set]''. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to [[New Foundations|NFU]] via the web. Copyright is reserved.
*[[Patrick Suppes]], 1972 (1960). ''Axiomatic Set Theory''. Dover.

== 外部链接 ==
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]:
** [http://plato.stanford.edu/entries/quine-nf Quine's New Foundations] {{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/entries/quine-nf |date=20201109011931 }} -- by Thomas Forster.
** [http://setis.library.usyd.edu.au/stanford/entries/settheory-alternative/ Alternative axiomatic set theories] -- by Randall Holmes.
* McGuire, Gary, "[http://www.maths.may.ie/staff/gmg/nn.ps What are the Natural Numbers?] {{Wayback|url=http://www.maths.may.ie/staff/gmg/nn.ps |date=20070613175215 }}"
* Randall Holmes: [http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html  New Foundations Home Page.] {{Wayback|url=http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html |date=20200321023959 }}

[[Category:集合论基本概念|Z]]
[[Category:数理逻辑|Z]]