查看“︁自然数”︁的源代码

{{Expand language|1=en|time=2020-07-23T13:54:23+00:00}}
{{NoteTA|G1=Math|G2=IT}}
{{Numbers}}
'''自然数'''（natural numbers）按[[ISO 80000-2]]和[[ISO 2382]]定义，指'''非负整数''' <math>( 0, 1, 2, 3, 4, \ldots)</math><ref>{{cite book|title=ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics|url=https://www.iso.org/standard/64973.html|publisher=[[International Organization for Standardization]]|chapter=Standard number sets and intervals|page=6|last=|first=|year=2019-08|isbn=|location=|pages=|access-date=2020-07-23|archive-date=2021-02-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20210224184825/https://www.iso.org/standard/64973.html}}</ref><ref>{{Cite book|title=Information technology — Vocabulary|url=https://www.iso.org/standard/63598.html|publisher=[[International Organization for Standardization]]|chapter=Terms and definitions|page=|last=|first=|year=2015-05|isbn=|location=|pages=|access-date=2020-07-23|archive-date=2021-04-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20210424220048/https://www.iso.org/standard/63598.html}}</ref>；此定义相同于[[集合论]]和[[计算机科学]]领域中，认为0属于自然数。但在[[数论]]领域中，认为0不属于自然数，因而按数论描述，自然数会同义于正整数。为免歧义，可直接以术语“非负整数”代替自然数称之。

[[数学]]中，一般以<math>\mathbb{N}</math>代表以自然数组成的[[集合 (數學)|集合]]。自然数集是一個[[可數集|可數]]的，無[[上界]]的[[无限集合|無窮集合]]。非零自然数即指[[正整数]]<math>( 1, 2, 3, 4, \ldots)</math>。

自然数可用于[[计数]]（如：桌子上有“三”个苹果）和[[全序关系|定序]]（如：国内“第三”大城市）。

== 符号 ==
[[File:U+2115.svg|right|thumb|upright|常用双线的大写 N 符号来表示自然数集合。]]

数学家们使用<math>N</math>或<math>\mathbb{N}</math>来表示所有自然数的[[集合 (数学)|集合]]。较早的教科书也有使用<math>J</math>来表示这一集合的情况。<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=W.|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=978-0-07-054235-8|location=New York|pages=25|quote=|via=}}</ref>

为了消除是否包含0的歧义，有时通过上、下标的形式表示集合中是否包含0：<ref>{{Cite book | author = 人民教育出版社 课程教材研究所。中国数学课程教材研究开发中心 | title = 普通高中标准课程实验教科书 数学1 必修 A版 | location = | publisher = 人民教育出版社 | date = 2004年5月 | pages = |ISBN =9787107177057| accessdate = 2011-01-31 | url =https://archive.org/details/treatingfatigues0000zhan| language= zh-hans}}</ref>

* 自然数：<math>\mathbb{N}_0 = \mathbb{N}^0 = \{0, 1, 2, \dots\}</math>
* 非零自然数：<math>\mathbb{N}^* = \mathbb{N}^+ = \mathbb{N}_1 = \mathbb{N}_{>0} = \{1, 2, \dots\}</math>

== 定义 ==
{{主条目|皮亚诺公理|自然數的集合論定義}}

=== 基于序数理论 ===
基于序数理论提出的[[皮亚诺公理]]可以得到自然数的许多特性，这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

#0是自然数；
#每一个确定的自然数''a''，都有一个确定的后继数''a' ''，''a' ''也是自然数；
#对于每个自然数''b''、''c''，''b''=''c''当且仅当''b''的后继数=''c''的后继数；
#0不是任何自然数的后继数；
#任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数''a''为真时，可以证明对''a' ''也真。那么，命题对所有自然数都真。

其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了[[数学归纳法]]的正确性，从而被称为归纳法原理。

=== 基于基数理论 ===
在基数理论中，[[集合论]]的一般做法是将0定义為[[空集]]後，将任一非零自然数看作是所有比該數小的自然数组成的集合，即
:<math>0 = \{\}, 1 = \{0\}, 2 = \{0,1\}, 3 = \{0,1,2\}, \ldots</math>

通過[[無窮公理]]，可以得到存在一个只包含全體自然數的自然數集<math>\mathbb{N}</math>。

另外，在此定义下，在集合<math>n</math>内就有<math>n</math>个元素；而若<math>n</math>小于<math>m</math>，则<math>n</math>会是 <math>m</math>的[[子集]]。
== 性质 ==

=== 无限性 ===
自然数的集合是[[无限集合|无限集]]。根据定义，这种无限称为可数无限。可以与自然数建立双射关系的所有集合都具有这种无限性，称作，这个集合的[[势 (数学)|势]]为<math>\aleph_0</math>。

=== 可加性 ===
自然数[[加法]]可经<math>a+0=a</math>及<math>a+(b+1)=(a+b)+1</math>递归定义而成。因而得出[[交换律|交换]][[幺半群]]<math>(N,+)</math>，是由<math>1</math>生出的自由幺半群，其中[[幺元]]为<math>0</math>。此幺半群服从[[消去律]]，可嵌入一[[群]]内：最小的是[[整数]]群。

=== 可乘性 ===
同理，自然数乘法<math>\times</math>可经<math>a \times 0=0</math>及<math>a \times (b+1)=ab+a</math> 得出。

=== 加乘关系 ===
而<math>(N, \times)</math>亦是交换幺半群；<math>\times</math>和<math>+</math>符合[[分配律]]：
:<math>a \times (b+c)=ab+ac</math>。

=== 有序性 ===
我们说<math>a \le b</math>当且仅当有自然数<math>c</math>使得<math>a+c=b</math>。<math>(N, \le)</math>是一个[[良序集]]，即每个非空子集都有一个最小的自然数。 

此序也和加法及乘法兼容，即若<math>a</math>，<math>b</math>和<math>c</math>都是自然数且<math>a \le b</math>，则<math>a+c \le b+c</math>及<math>ac \le bc</math>。

=== 可除性 ===
{{Main|关系 (数学)#可除性|l1=可除性}}
给定两个自然数<math>a</math>和<math>b</math>，其中<math>b \ne 0</math>，可找到唯一的两个自然数<math>q</math>及<math>r</math>使得
:<math>a=bq+r,\ 0\le r < q</math>

<math>q</math>称为“[[商數|商数]]”而<math>r</math>称为“[[余数]]”。 若<math>r=0</math>，则稱<math>a</math>可被<math>b</math>[[整除]]，记为<math>b|a</math>。

相关概念有[[輾轉相除法|辗转相除]]、[[质数]]及其它[[数论]]概念。

== 历史与0的争议 ==

自然数由数数而起。古希臘人最早研究其抽象特性，当中[[毕达哥拉斯主义]]更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以[[印度]]对0的接受，为人称道。

零早于公元前400年被巴比伦人用作[[數字]]使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者[[婆羅摩笈多|婆罗摩笈多]]于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人一开始仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。不過歷史上也有人把0包括在自然數之內，例如這兩本18世紀的法國書籍<ref>{{cite book|url=https://www.google.com/books/edition/La_mesure_des_surfaces_et_des_solides_pa/r2lf9ykxFnoC?hl=zh-TW&gbpv=1&dq=%22nombres%20naturels%22&pg=PA141&printsec=frontcover|title=La mesure des surfaces et des solides, par l'arithmétique des infinis et les centres de gravité|author=Antoine Deidier |year=1740|location=Paris|page=141}}</ref><ref>{{cite book|url=https://www.google.com/books/edition/De_la_philosophie/kcpPlObgIiEC?hl=zh-TW&gbpv=1&dq=%22nombres%20naturels%22&pg=PA134&printsec=frontcover|title=De la philosophie, Tome Second |author=Nicolas Beguin|year=1776|location=Paris|page=134}}</ref>。

19世纪末，[[集合论]]者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于[[空集]]）包括于自然数内更为方便。[[逻辑]]论者及[[计算机科学]]家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。

在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。

在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”<ref>王好民，《谈谈中学数学中的“0”》。曲阜师院学报(自然科学版)，1979年03期。</ref>。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。<ref>（沧州市第一中学）李元星，潘峰，《关于0是自然数的探讨》。教育实践与研究，2004年01期。</ref><ref>（江苏省连云港市墟沟实验小学）傅海洋，《“0是自然数”引发的教学问题》。现代中小学教育，2007年08期。</ref>

認為自然數不包含零的其中一個理由是自然數所指為自然界中存在的數，例如一棵大樹、兩條魚、十億個細胞等等，而鮮少有人說零個物品。

国际标准{{link-en|ISO 31-11:1992|ISO 31-11}}《量和单位 第十一部分：物理科学和技术中使用的数学标志与符号》（已被{{link-en|ISO/IEC 80000-2|ISO/IEC 80000}}取代）中，从集合论角度规定：符号 <math>\mathbb{N}</math> 所表示的自然数集是包括正整数和0。

中国大陆于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)参照国际标准ISO 31-11規定：<math>\mathbb{N}</math>表示“非负整数集；自然数集”，<math>\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}</math>。但自2017年3月23日起，该标准转化为推荐性标准，不再强制执行。<ref>{{cite web |author1=中国国家标准化管理委员会 |title=国家标准{{!}}GB/T 3102.11-1993 |url=http://openstd.samr.gov.cn/bzgk/gb/newGbInfo?hcno=3DE79450D562E62D41CB6E79FF411054 |website=openstd.samr.gov.cn |accessdate=2021-10-13 |archive-date=2022-04-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220423023137/http://openstd.samr.gov.cn/bzgk/gb/newGbInfo?hcno=3DE79450D562E62D41CB6E79FF411054 }}</ref>

== 推广 ==
自然数用于计数时称之为[[基数 (数学)|基数]]，用于定序时称之为[[序数]]。基数用于判定集合的大小，序数用作排列。

对于[[有限]]序列或有限集合，序数及基数皆与自然数同。

== 参考來源 ==
{{wikibooks|小学数学/自然数}}
{{wikiversity|自然数}}
{{Reflist}}

{{數的系統}}

[[Category:数论|Z]]
[[Category:集合论|Z]]
[[Category:初等数学]]