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[[File:Mplwp ln.svg|thumb|300px|自然對數<math>\ln(x)</math>的[[函數圖像]]]]
[[File:Log-def.svg|thumb|300px|自然对数<math>\ln(x)</math>的積分定義]]
{{NoteTA |G1=Math}}

'''自然对数'''（{{lang-en|Natural logarithm}}）為以数学常数[[e (数学常数)|e]]為[[底數 (對數)|底數]]的[[对数函数]]，標記作<math>\ln x</math>或<math>\log_e x</math>，其[[反函数]]為[[指數函數]]<math>e^x</math>。{{notetag|根據[[微積分學]]，某函數之定義域為其反函數之值域，反之其值域為其反函數之定義域。因<math>e^x</math>的值域為<math>(0,\infty)</math>，且其為<math>\ln x</math>之反函數，故可知<math>\ln x</math>之定義域為<math>(0,\infty)</math>，即<math>\ln x</math>在非正實數系無法定義。}}

自然对数积分定義為對任何正[[實數]]<math>x</math>，由<math>1</math>到<math>x</math>所圍成，<math>xy=1</math>[[積分|曲線下的面積]]。如果<math>x</math>小於1，則計算面積為負數。
:<math>\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}\,</math>
<math>e</math>則定義為唯一的實數<math>x</math>使得<math>\ln x = 1</math>。

自然对数一般表示為<math>\ln x\!</math>，數學中亦有以<math>\log x\!</math>表示自然對數。<ref>例如[[戈弗雷·哈羅德·哈代|哈代]]和[[愛德華·梅特蘭·賴特|賴特]]所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."（log x 當然是以e為基，x的「[[約翰·納皮爾|納皮爾]]」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。）</ref>{{notetag|若要避免與底為10的[[常用對數]] <math>\log x\!</math> 混淆，可用「全寫」 <math>\log_{\boldsymbol{e}} x\!</math> 。}}

==歷史==
===十七世纪===
[[File:Hyperbolic sector.svg|thumb|250px|right|[[雙曲線扇形]]是[[笛卡爾平面]]<math>\{(x,y)\}</math>上的一個區域，由從原點到<math display="inline">(a,\frac{1}{a})</math>和<math display="inline">(b,\frac{1}{b})</math>的射線，以及[[雙曲線]]<math>xy=1</math>圍成。在標準位置的雙曲線扇形有<math>a=1</math>且<math>b>1</math>，它的面積為<math>\ln(b)</math><ref>證明：從1到''b''積分1/''x''，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (''b'', 0), (''b'', 1/''b'')}。</ref>，此時雙曲線扇形對應正[[雙曲角]]。]]
[[File:Gregoire de St Vincent Quadrature.svg|thumb|250px|當直角雙曲線下的兩段面積相等時，<math>x</math>的值呈[[等比數列]]，<math display="inline">\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=k</math>，<math>y</math>的值也呈等比數列，<math display="inline">\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=\frac{1}{k}</math>。]]
[[約翰·納皮爾]]在1614年<ref>{{Citation|author=Ernest William Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=http://www.archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref>以及[[约斯特·比尔吉]]在6年後<ref>{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991 |chapter=14，Section "Jobst Bürgi"}}</ref>，分別發表了獨立編制的[[對數表]]，當時通過對接近1的底數的大量乘[[冪]]運算，來找到指定範圍和精度的[[對數]]和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，[[約翰·納皮爾]]的底數0.9999999<sup>10000000</sup>相當接近<math display="inline">\frac{1}{e}</math><ref>選取接近e的底數b，對數表涉及的b<sup>x</sup>為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的b<sup>x</sup>為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。</ref>，而[[约斯特·比尔吉]]的底數1.0001<sup>10000</sup>相當接近自然對數的底數<math>e</math>。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，[[約翰·納皮爾]]用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，{{en-link|亨利·布里格斯|Henry Briggs (mathematician)}}建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法<ref>以<math>10^{\frac{1}{2^{54}}}</math>這個接近1的數為基礎。</ref>於1624年部份完成了[[常用對數]]表的編制。

形如<math>f(x)=x^p</math>的曲線都有一個代數[[反導數]]，除了特殊情況<math>p=-1</math>對應於雙曲線的{{en-link|弓形面積|Quadrature (mathematics)}}，即[[雙曲線扇形]]；其他情況都由1635年發表的{{en-link|卡瓦列里弓形面積公式|Cavalieri's quadrature formula}}給出<ref>
[[博納文圖拉·卡瓦列里]]在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出[[定積分]]：

: <math>\int_0^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, a^{n+1} \qquad n \geq 0,</math>
其[[不定積分]]形式為：

: <math>\int x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, x^{n+1} + C \qquad n \neq -1.</math>
獨立發現者還有：[[皮埃爾·德·費馬]]、{{en-link|罗贝瓦尔的吉尔|Gilles de Roberval}}和[[埃萬傑利斯塔·托里拆利]]。
</ref>，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的[[阿基米德]]完成（[[拋物線的弓形面積]]），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年{{en-link|圣文森特的格列高利|Grégoire de Saint-Vincent}}將對數聯繫於雙曲線<math>xy=1</math>的弓形面積，他發現x軸上<math>[a,b]</math>兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的[[雙曲線扇形]]同<math>[c,d]</math>對應的扇形，在<math display="inline">\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>時面積相同，這指出了雙曲線從<math>x=1</math>到<math>x=t</math>的積分<math>f(t)</math>滿足<ref>設a=1，x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的[[雙曲線扇形]]面積為f(b)，[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。</ref>：
:<math>f(tu) = f(t) + f(u)\,</math>
1649年，{{en-link|萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥|Alphonse Antonio de Sarasa}}將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，[[伊薩克·牛頓]]推廣了[[二項式定理]]，他將<math display="inline">\frac{1}{1+x}</math>展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於[[尼古拉斯·麥卡托]]在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中<ref>{{Citation |author1=J. J. O'Connor |author2=E. F. Robertson |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |title=The number e |publisher=The MacTutor History of Mathematics archive |date=September 2001 |accessdate=2009-02-02 |archive-date=2012-02-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120219231529/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html }}</ref>，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的[[麥卡托級數]]。

===十八世纪===
大約1730年，[[歐拉]]定義互為逆函數的[[指數函數]]和自然對數為<ref>
卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的''n''(''x''的負數冪)，由於在''x''&nbsp;=&nbsp;0處有個[[奇點 (數學)|奇點]]，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：

: <math>\int_1^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1} (a^{n+1} - 1) \qquad n \neq -1.</math>
[[歐拉]]的自然對數定義：

: <math>\begin{align}
\ln(x)  &=\lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1) \\
&=\lim_{n \rightarrow -1} \tfrac{1}{n+1} (x^{n+1} - 1) \\
\end{align}</math>
</ref><ref name="ReferenceA">{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=e: The Story of a Number|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009|}},sections 1, 1.<br />{{Citation |last1=Eves |first1=Howard Whitley |author1-link=Howard Eves |title=An introduction to the history of mathematics |publisher=Saunders |location=Philadelphia |edition=6th |series=The Saunders series |isbn=978-0-03-029558-4 |year=1992}}, section 9-3<br />{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991}}, p. 484, 489</ref>：
:<math>e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n,</math>
:<math>\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n\left(x^{\frac{1}{n}} - 1\right)</math>
1742年[[威廉·琼斯 (数学家)|威廉·琼斯]]發表了現在的[[冪]][[指數]]概念<ref><math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^x=\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac {x}{n}}</math><br />在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。</ref>。

==形式定義==
[[歐拉]]定義自然對數為[[序列的極限]]：
:<math>\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n\left(x^{\frac{1}{n}} - 1\right).</math>

<math>\ln (a)</math>正式定義為[[積分]]，
:<math>\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.</math>

這個函數為對數是因滿足[[對數]]的基本性質:
:<math>\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). \,\!</math>

這可以通過將定義了<math>\ln(ab)</math>的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行[[換元積分法|換元]]<math>x=ta</math>來證實:
:<math>
\ln (ab)
= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx
= \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{at} \; d(at)
</math>
::<math>
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt
= \ln (a) + \ln (b).
</math>

冪公式<math>\ln (t^r)=r\ln (t)</math>可如下推出:
:<math>
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{u^r} d\left(u^{r}\right) = \int_1^t \frac{1}{u^r} \left(ru^{r - 1} \, du\right) = r \int_1^t \frac{1}{u} \, du = r \ln(t).
</math>
第二個等式使用了[[換元積分法|換元]]<math>u=x^{\frac{1}{r}}</math>。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：
:<math> \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right).</math>

==性質==
* <math>\ln(1) =\int_1^1 \frac{1}{t}\,dt=0 \,</math>
* <math>\operatorname{ln}(-1) = i \pi \,</math>
::(參見[[複數對數]])
* <math>\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y \,</math>
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \,</math>
* <math>\ln(x^y) = y \, \ln(x) \,</math>
* <math>\frac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \quad{\rm for}\quad x > 0 \,</math>
* <math>\ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad{\rm for}\quad x \ge 0, \alpha \ge 1 \,</math>

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!證明
|-
|
<math>\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h} = \frac{d}{dx} \ln x \Bigg|_{x=1} = 1</math>
|}

== 導數 ==
[[File:Logarithm derivative.svg|right|thumb|300px|自然對數的圖像和它在<math>x=1.5</math>處的切線。]]
[[Image:LogTay.svg|300px|thumb|right|<math>\ln(1+x)</math>的泰勒多項式只在<math>-1<x\leq 1</math>範圍內有逐步精確的近似。]]

自然對數的[[導數]]為
:<math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,</math>

證明一（微積分第一基本定理）:<math>\frac{d}{dx} \ln(x)=\frac{d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{x}</math>

證明二：[https://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28 按此影片]{{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28 |date=20210402030947 }}
:<math>\frac{d}{dx} \ln (x) =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}</math>

::::<math> =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}</math>
::::<math>=\lim_{h \to 0} \left[ \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{h}{x} \right)\right]\quad</math>
::::<math>= \lim_{h \to 0} \ln\left( 1 + \frac{h}{x} \right)^\frac{1}{h}</math>

设<math>u=\frac{h}{x} \Rightarrow ux=h</math>
:<math>\frac{1}{h}=\frac{1}{ux}</math>

:<math>\frac{d}{dx} \ln (x)=\lim_{u \to 0} \ln (1+u)^\frac {1}{ux}</math>

::::<math>=\lim_{u \to 0}\ln\left[(1+u)^\frac{1}{u} \right]^\frac{1}{x}</math>
::::<math>=\frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \ln(1+u)^\frac {1}{u}</math>

设<math>n=\frac{1}{u} \Rightarrow u=\frac{1}{n}</math>

:<math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \lim_{n \to \infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>

::::<math>=\frac{1}{x} \ln \left [ \lim_{n \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right ]</math>
::::<math>=\frac{1}{x} \ln e</math>
::::<math>=\frac {1}{x}</math>

用自然對數定義的更一般的對數函數，<math>\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}</math>，根據其[[逆函數]]即一般[[指數函數]]的性質，它的導數為<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997 |nb=yes|loc=section IV.2}}</ref><ref>{{Cite WolframAlpha|title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))''|urlname=d/dx(Log(b,x))|archive-url=https://web.archive.org/web/20110718075346/http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28Log%28b%2Cx%29%29 |archive-date=2011-07-18 |dead-url=yes }}</ref>：
: <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>
根據[[鏈式法則]]，以<math>f(x)</math>為參數的自然對數的導數為
:<math>\frac{d}{dx} \ln[f(x)] = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
右手端的商叫做<math>f</math>的{{en-link|對數導數|logarithmic derivative}}，通過<math>\ln(f(x))</math>的導數的方法計算<math>f'(x)</math>叫做[[對數微分]]<ref>{{Citation | last1=Kline | first1=Morris | author1-link=Morris Kline | title=Calculus: an intuitive and physical approach | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | series=Dover books on mathematics | isbn=978-0-486-40453-0 | year=1998}}, p. 386</ref>。

==冪級數==
自然對數的導數性質導致了<math>\ln(1+x)</math>在0處的[[泰勒級數]]，也叫做[[麥卡托級數]]：
:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots </math>
::對於所有<math>\left|x\right| \leq 1,</math>但不包括<math>x = -1.</math>
把<math>x-1</math>代入<math>x</math>中，可得到<math>\ln(x)</math>自身的級數。通過在麥卡托級數上使用[[二項式變換|歐拉變換]]，可以得到對絕對值大於1的任何<math>x</math>有效的如下級數:
:<math>\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots \,.</math>
這個級數類似於[[贝利-波尔温-普劳夫公式]]。

還要注意到<math> x \over {x-1} </math>是自身的逆函數，所以要生成特定數<math>y</math>的自然對數，簡單把<math> x \over {x-1} </math>代入''<math>x</math>''中。

:<math>\ln{x} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n}} \left( {x - 1 \over x} \right)^n = \left( {x - 1 \over x} \right) + {1 \over 2} \left( {x - 1 \over x} \right)^2 + {1 \over 3} \left( {x - 1 \over x} \right)^3 + \cdots \,</math>
::對於<math>\operatorname{Re} (x) \geq \frac12 \,.</math>

自然數的倒數的總和
:<math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>
叫做[[調和級數]]。它與自然對數有密切聯繫：當<math>n</math>趨於無窮的時候，差
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>
[[序列的極限|收斂]]於[[欧拉-马歇罗尼常数]]。這個關係有助於分析算法比如[[快速排序]]的性能。<ref>{{Citation|last1=Havil|first1=Julian|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09983-5|year=2003}}, sections 11.5 and 13.8</ref>

==積分==
自然對數通過[[分部積分法]]積分:

:<math>\int \ln (x) \,dx = x \ln (x)  - x + C.</math>

假設:

:<math>u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{dx}{x}</math>
:<math>dv = dx  \Rightarrow v = x\, </math>

所以:

: <math>
\begin{align}
\int \ln (x) \,dx & = x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx \\
& = x \ln (x) - \int 1 \,dx \\
& = x \ln (x) - x + C
\end{align}
</math>

自然對數可以簡化形如<math>g(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}</math>的函數的積分：<math>g(x)</math>的一個[[原函數]]給出為<math>\ln(\left \vert f(x) \right \vert)</math>。這是基於[[鏈式法則]]和如下事實:
:<math>\ {d \over dx}\ln \left| x \right| = {1 \over x}.</math>

換句話說，
:<math>\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C</math>
且
:<math>\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.</math>

===例子===
下面是<math>g(x)=\tan x</math>的例子：

:<math>\begin{align}
\int \tan x \,dx &= \int {\sin x \over \cos x} \,dx \\
&= \int {-{d \over dx} \cos x \over {\cos x}} \,dx. \\
\end{align}</math>

設<math>f(x)=\cos x</math>且<math>f'(x)=-\sin x</math>：
:<math>\begin{align}\int \tan x \,dx &= -\ln{\left| \cos x \right|} + C \\
&= \ln{\left| \sec x \right|} + C \\
\end{align}</math>

==與雙曲函數的關係==
[[File:Cartesian hyperbolic triangle.svg|right|250px|thumb|在[[直角雙曲線]](方程<math>y=\frac{1}{x}</math>)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於[[雙曲角]]''<math>u</math>''的[[雙曲線扇形]](紅色)。這個三角形的邊分別是[[雙曲函數]]中[[雙曲餘弦|<math>\cosh</math>]]和[[雙曲正弦|<math>\sinh</math>]]的<math>\sqrt{2}</math>倍。]]
[[File:Hyperbolic functions-2.svg|thumb|250px|right|射線出原點交[[單位雙曲線]]<math>\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1</math>於點<math>\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)</math>，這裡的<math>\scriptstyle a</math>是射線、雙曲線和<math>\scriptstyle x</math>軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。]]
在18世紀，[[約翰·海因里希·蘭伯特]]介入[[雙曲函數]]<ref>{{citation|title=Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics|first=Howard|last=Eves|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486132204|page=59|url=http://books.google.com/books?id=J9QcmFHj8EwC&pg=PA59|quote=We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.}}</ref>，並計算[[雙曲幾何]]中[[雙曲三角形]]的面積<ref>{{citation|title=Foundations of Hyperbolic Manifolds|volume=149|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John|last=Ratcliffe|publisher=Springer|year=2006|isbn=9780387331973|page=99|url=http://books.google.com/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99|quote=That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph ''Theorie der Parallellinien'', which was published posthumously in 1786.|accessdate=2014-03-28|archive-date=2014-01-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20140112001533/http://books.google.com/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99}}</ref>。對數函數是在[[直角雙曲線]]<math>xy=1</math>下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線<math>y=x</math>上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數[[指數函數]]，即要形成指定[[雙曲角]]<math>u</math>，在漸近線即x或y軸上需要有的<math>x</math>或<math>y</math>的值。顯見這裡的底邊是<math>\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>，垂線是<math>\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>。

通過旋轉和縮小[[線性變換]]，得到[[單位雙曲線]]下的情況，有：
*<math>\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math>
*<math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>
[[單位雙曲線]]中雙曲線扇形的面積是對應[[直角雙曲線]]<math>xy=1</math>下雙曲角的<math>\frac{1}{2}</math>。

==連分數==
儘管自然對數沒有簡單的[[連分數]]，但有一些[[廣義連分數]]如:

:<math>\begin{align}
\ln (1+x) &= \frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\
 &= \cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}} \\
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\ln \left( 1+\frac{x}{y} \right) &= \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} \\
 &= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}} \\
\end{align}
</math>

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為<math>2=1.25^3\times 1.024</math>，[[2的自然對數]]可以計算為:
:<math>
\begin{align}
\ln 2 &= 3 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + \ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\
&= \cfrac{6} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{6} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\
\end{align}
</math>

進而，因為<math>10=1.25^{10}\times 1.024^3</math>，10的自然對數可以計算為:
:<math>
\begin{align}
\ln 10 &= 10 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + 3\ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\
 &= \cfrac{20} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{18} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\
\end{align}
</math>

==複數對數==
{{Main|複數對數}}
[[指數函數]]可以擴展為對任何複數<math>x</math>得出複數值為<math>e^x</math>的函數，只需要簡單使用''<math>x</math>''為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在''<math>x</math>''使得<math>e^x=0</math>；並且有著<math>e^{2\pi i}=1=e^0</math>。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，<math>e^z=e^{z+2n\pi i}</math>，對於所有複數<math>z</math>和整數<math>n</math>。

所以對數不能定義在整個[[複平面]]上，並且它是[[多值函數]]，就是說任何複數對數都可以增加<math>2\pi i</math>的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在[[複平面#切割複平面|切割平面]]上是單值函數。例如，<math>\log i=\frac{1}{2}\pi i</math>或<math>\frac{5}{2}\pi i</math>或<math>-\frac{3}{2}\pi i</math>等等；儘管<math>i^4=1</math>，<math>4\log=i</math>不能定義為<math>2\pi i</math>或<math>10\pi i</math>或<math>-6\pi i</math>，以此類推。
<gallery mode="packed" caption="自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖">
Image:Natural Logarithm Re.svg| ''z''=Re(ln(x+iy))
Image:Natural Logarithm Im Abs.svg| ''z'' = |Im(ln(x+iy))|
Image:Natural Logarithm Abs.svg| ''z'' = |ln(x+iy)|
Image:Natural Logarithm All.svg| 前三圖的疊加
</gallery>

===主值定義===
對於每個非0複數<math>z=x+yi</math>，主值<math>\log z</math>是虛部位於區間<math>(-\pi, \pi]</math>內的對數。表達式<math>\log 0</math>不做定義，因為沒有複數<math>w</math>滿足<math>e^w=0</math>。  

要對<math>\log z</math>給出一個公式，可以先將<math>z</math>表達為[[極坐標]]形式，<math>z=re^{i\theta}</math>。給定<math>z</math>，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向<math>\theta</math>增加<math>2\pi</math>的整數倍，所以為了保證唯一性而要求''<math>\theta</math>''位於區間<math>(-\pi, \pi]</math>內；這個''<math>\theta</math>''叫做幅角的主值，有時寫為<math>\operatorname{arg} z</math>或<math>\operatorname{atan}2(y,x)</math>。則對數的主值可以定義為<ref name=Sarason>Sarason, Section IV.9.</ref> ：

::<math>\operatorname{Log} z := \text{ln } r + i \theta = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = \operatorname{ln}\sqrt{x^2+y^2} + i \operatorname{atan2}(y,x).</math>

例如，<math>\operatorname{Log}(-3i)=\ln 3-\frac{\pi i}{2}</math>。

== 科学應用 ==
自然指数有应用於表达放射衰变（[[放射性]]）之类关于衰減的过程，如放射性原子数目的[[微分方程]]<math>N</math>随时间变化率<math>\frac{dN}{dt}=-pN</math>，常数<math>p</math>为原子衰变概率，积分得<math>N(t)=N(0)\exp (-pt)</math>。

==註釋==
{{notefoot}}
==参考资料==
{{reflist|2}}

==延伸阅读==
*John B. Conway, ''Functions of one complex variable'', 2nd edition, Springer, 1978.
*[[塞尔日·兰|Serge Lang]], ''Complex analysis'', 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
*Gino Moretti, ''Functions of a Complex Variable'', Prentice-Hall, Inc., 1964.
*Donald Sarason, ''[http://books.google.com/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw Complex function theory] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw |date=20140111075715 }}'', 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
*{{tsl|en|E. T. Whittaker||E. T. Whittaker}} and [[喬治·奈維爾·沃森|G. N. Watson]], ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition, Cambridge University Press, 1927.

[[Category:对数]]
[[Category:基本特殊函数]]
[[Category:E (数学常数)]]
[[Category:一元运算]]