查看“︁自然密度”︁的源代码

'''自然密度'''（{{lang-en|'''natural density'''}}），又称'''渐进密度'''（{{lang-en|'''asymptotic density'''}}），是[[数论]]中度量[[自然数]][[子集]]大小的工具之一。

== 简介 ==

以[[平方数]]集和[[自然数]]集的大小关系为例：
: 平方数集与自然数集都是[[可数集|可数无穷集]]，我们能够在两个[[集合 (数学)|集合]]间建立[[双射|一一映射]]（对于任意的自然数<math>n</math>都可以找到对应的平方数<math>n^2</math>与之对应，反之亦然），即两个集合是[[等势]]的。
: 然而，这种基于[[基数_(数学)|基数]]的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。

考虑自然数的一个子集<math>A</math>和[[整数]][[区间]]<math>[1,n]</math>：
: 如果从整数[[区间]]<math>[1,n]</math>中[[随机]]选取一个整数，那么这个整数属于<math>A</math>的[[概率]]应该等于<math>A</math>与整数区间<math>[1,n]</math>的交集中的所有元素在整数区间<math>[1,n]</math>中的占比。当<math>n</math>趋近于[[无穷]]时，若上述概率也趋近于某个[[极限 (数学)|极限]]，则将该极限定义为<math>A</math>的自然密度。
: <math>A</math>的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于<math>A</math>的概率。

自然密度（以及一些其他类型的密度）也是{{link-en|概率数论|Probabilistic number theory}}的研究对象。

与[[施尼勒尔曼密度]]不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

== 定义 ==

对于一个自然数集的子集<math>A</math>，当<math>n</math>趋向于无穷时，若<math>A</math>中不大于<math>n</math>的元素个数与<math>n</math>的比值[[收敛]]到<math>\alpha</math>，则称<math>A</math>的自然密度为<math>\alpha</math>。

更进一步，若定义<math>a(n)</math>为<math>A</math>里不大于<math>n</math>的元素个数，那么命题“<math>A</math>的自然密度为<math>\alpha</math>”等效于：
: <math>\frac{a(n)}{n}\to\alpha</math>，当<math>n\to\infty</math><ref name=Ten261/>

从定义中可以看出，若<math>\alpha</math>是某个集合<math>A</math>的自然密度，则一定有<math>0\le\alpha\le 1</math>。

=== 上自然密度 ===

设<math>A</math> 是自然数集<math>\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}</math>的一个子集。对任何<math>n\in\mathbb{N}</math>，定义<math>A(n)=\{1,2,\ldots,n\} \cap A</math>，<math>a(n)=|A(n)|</math>。

则<math>A</math>的'''上自然密度'''（{{lang-en|'''upper asymptotic density'''}}）为：

: <math> \overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n} </math>

其中<math>\limsup</math>是[[上极限和下极限|上极限]]。 <math>\overline{d}(A)</math>也可简称为<math>A</math>的'''上密度'''。 

=== 下自然密度 ===

同样地，定义A的'''下自然密度'''（{{lang-en|'''lower asymptotic density'''}}）为：

: <math> \underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ a(n) }{n} </math>

=== 自然密度的其他定义方法 ===

1. 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说<math>A</math>的'''自然密度'''<math>d(A)</math>是：
: 若<math>\overline{d}(A)=\underline{d}(A)</math>，则<math>d(A)</math>等于<math>\overline{d}(A)</math>（或<math>\underline{d}(A)</math> ） 。

2. 自然密度的定义还可以表示为：
: <math> d(A)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n} </math>（若极限存在）<ref>Nathanson (2000) pp.256–257</ref>

3. 可以证明，下述命题也是自然密度的定义：
: 若将自然数集<math>\mathbb{N}</math>的子集<math>A</math>写作一个递增数列：
:: <math> A=\{a_1<a_2<\ldots<a_n<\ldots; n\in\mathbb{N}\}</math>
: 那么
:: <math>\underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n},</math>
:: <math>\overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}</math>
:: <math>d(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}</math>（若极限存在）

=== 推广 ===
一个稍弱的密度定义是 '''上Banach密度'''（{{lang-en|'''upper Banach density'''}}）。对于<math>A \subseteq \mathbb{N}</math>，定义<math>d^*(A)</math>为：

:<math> d^*(A) = \limsup_{N-M \rightarrow \infty} \frac{| A \cap \{M, M+1, \ldots , N\}|}{N-M+1} </math>

== 性质 ==

* 若对于集合<math>A</math>存在<math>d(A)</math>，则对于其[[补集]]<math>A^\complement</math>，<math>d(A^\complement)=1-d(A)</math>成立。
* 若<math>d(A)</math>，<math>d(B)</math>及<math>d(A\cup B)</math>均存在，则<math>\max\{d(A),d(B)\} \leq d(A\cup B) \leq \min\{d(A)+d(B),1\}</math>成立。
* 自然数集的自然密度为<math>1</math>，即<math>d(\mathbb{N})=1</math>成立。
* 对于自然数集的任意有限子集<math>F</math>, 有<math>d(F)=0</math>成立。
* 对于平方数集<math>A=\{n^2; n\in\mathbb{N}\}</math>，有<math>d(A)=0</math>成立。
* 对于[[偶数]]集<math>A=\{2n; n\in\mathbb{N}\}</math>，有<math>d(A)=0.5</math>成立。更一般地，对于[[等差级数]]组成的集合<math>A=\{an+b; n\in\mathbb{N}\}</math>，有<math>d(A)=\frac1{a}</math>成立。
* 对于[[质数]]集合<math>P</math>，由[[质数定理]]知：<math>d(P)=0</math>成立。
* [[无平方数因数的数]]的集合的自然密度为<math>\frac{6}{\pi^2}</math>。更一般地，无<math>n</math>次方因数的数的集合的自然密度为<math>\frac{1}{\zeta(n)}</math>，其中<math>\zeta(n)</math>是[[黎曼ζ函數]]。
* [[过剩数]]集合具有非零的自然密度<ref name=HT95>{{cite book | zbl=0653.10001 | last1=Hall | first1=Richard R. | last2=Tenenbaum | first2=Gérald | author2-link=Gérald Tenenbaum | title=Divisors | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=90 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1988 | isbn=0-521-34056-X | page=95 }}</ref>。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和[[完全数]]的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间<ref name=Del1998>{{cite journal | first=Marc | last=Deléglise | title=Bounds for the density of abundant integers | journal=Experimental Mathematics | volume=7 | issue=2 | year=1998 | pages=137–143 | url=http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515661 | mr=1677091 | zbl=0923.11127 | issn=1058-6458 | doi=10.1080/10586458.1998.10504363 | access-date=2018-10-18 | archive-date=2020-10-13 | archive-url=https://web.archive.org/web/20201013184224/https://projecteuclid.org/euclid.em/1048515661 }}</ref>。
* 所有在[[二进制]]表示法中位数为[[奇数]]的自然数的集合，即<math>A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty \{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\}</math>，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。
: 其上自然密度为：
::<math>\overline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1} = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)} = \frac 23</math>
: 而其下自然密度为：
::<math>\underline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}= \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}= \frac 13</math>
* 同样，所有[[十进制]]表示法中以<math>1</math>开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为<math>\frac 59</math>而其下自然密度为<math>\frac 19</math>。<ref name=Ten261>Tenenbaum (1995) p.261</ref>
* 对区间[0,1]上的任意{{link-en|Equidistributed序列|equidistributed sequence}}<math>\{\alpha_n\}_{n\in\N}</math>，定义[[单调]][[集族]]<math>\{A_x\}_{x\in[0,1]}</math>:
::<math>A_x:=\{n\in\mathbb{N}\,:\, \alpha_n<x \}</math>
: 则依定义有：
:: 对于任意的<math>x</math>，<math>d(A_x)= x</math>。
* 若<math>S</math>有正的上自然密度，则[[塞迈雷迪定理]]表明<math>S</math>包含了任意长度的等差数列。{{link-en|Furstenberg–Sárközy定理|Furstenberg–Sárközy theorem}}表明，<math>S</math>内一定存在差为平方数的两个元素。

== 其他密度函数 ==
用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合<math>A</math>的'''对数密度'''（{{lang-en|logarithmic density}}）可以定义为：

:<math>\mathbf{\delta}(A) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\log x} \sum_{n \in A, n \le x} \frac{1}{n} </math>（若极限存在）

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。

== 相关条目 ==

* {{link-en|狄利克雷密度|Dirichlet density}}
* [[施尼勒尔曼密度]]

== 参考 ==
* {{cite book | first=Melvyn B. | last=Nathanson | title=Elementary Methods in Number Theory | volume=195 | series=Graduate Texts in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2000 | isbn=0387989129 | zbl=0953.11002 }}
* {{cite journal | last=Niven | first=Ivan | title=The asymptotic density of sequences | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | volume=57 | year=1951 | pages=420–434 | url=http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183516304 | mr=0044561 | zbl=0044.03603 | doi=10.1090/s0002-9904-1951-09543-9 | access-date=2018-10-18 | archive-date=2020-08-21 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200821231728/https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183516304 }}
* {{cite web|last=Steuding |first=Jörn |title=Probabilistic number theory |year=2002 |url=http://hdebruijn.soo.dto.tudelft.nl/jaar2004/prob.pdf |accessdate=2014-11-16 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20111222233654/http://hdebruijn.soo.dto.tudelft.nl/jaar2004/prob.pdf |archivedate=December 22, 2011 }}
* {{cite book | first=Gérald | last=Tenenbaum | title=Introduction to analytic and probabilistic number theory| series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=46 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1995 | zbl=0831.11001  }}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:组合数学]]
[[Category:数论]]