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在[[数学]]中，一个[[动力系统]]被称为'''自治'''（'''驻定'''）的，当且仅当这个系统由一组[[常微分方程]]组成，并且这些[[方程]]的表达式与动力系统的[[自变量]]无关。

在有关[[物理]]的动力系统中，自变量通常是[[时间]]。这时自治系统通常表示其中的物理规律不随时间变化的系统，也就是说空间中每一点的性质在过去、现在和将来都是一样的。

自治系统是动力系统中很重要的一个组成部分。理论上说，所有的动力系统都可以转化为自治系统。

== 定义 ==

形式上来说，一个'''自治系统'''是一个[[常微分方程]]：
:<math>\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t))</math>
其中 ''x'' 在''n''-[[维数|维]][[欧几里得空间]]中取值，而 ''t'' 是自变量，一般表示时间。  

注意到自治系统是一般的常微分方程组中的一个特例。常微分方程的一般形式为：
:<math>\frac{d}{dt}x(t)=g(x(t),t)</math>
物理上来说，这表示空间中一点的性质不仅取决于它的位置，还取决于时间：在不同的时间，经过此一点的[[质点]]或[[粒子]]会受到不同的影响。

==性质==

对于一个自治系统，任意[[初值问题]]： 
:<math>\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t)) \, \mathrm{,} \quad x(t_0)=y_0</math>
都等价于
:<math>\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t)) \, \mathrm{,} \quad x(0)=y_1</math>
其中的 ''y''<sub>1</sub> 是一个可以由 ''y''<sub>0</sub> 确定的值。

==参见==
*[[时不变系统]]
*[[连续动力系统]]
*[[本迪克森-杜拉克定理]]
*[[向量场]]

==参考资料==
*王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松，《常微分方程》（第三版），高等教育出版社。

[[Category:微分方程]]
[[Category:动力系统]]