查看“︁自旋-軌道作用”︁的源代码

{{NoteTA|G1=物理學}}
{{量子力学}}
在[[量子力學]]裏，一個粒子因為[[自旋]]與[[軌道運動]]而產生的作用，稱為'''自旋-軌道作用'''（{{lang-en|'''Spin–orbit interaction'''}}），也稱作'''自旋-軌道效應'''或'''自旋-軌道耦合'''。最著名的例子是[[電子]][[能級]]的位移。電子移動經過[[原子核]]的[[電場]]時，會產生[[電磁作用]]．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋-軌道作用。[[譜線]]分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移，證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是[[原子核]][[核殼層模型|殼層模型]][[能級]]的位移。

[[半導體]]或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。[[自旋電子學]]專門研究與應用這方面的問題。

==電子的自旋-軌道作用==
在這篇文章裏，會以相當簡單與公式化的方式，詳細地講解一個束縛於[[原子]]內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到[[電磁學]]、[[量子力學|非相對論性量子力學]]、[[微擾理論 (量子力學)|一階微擾理論]]。這自旋-軌道作用理論給出的答案，雖然與實驗結果並不完全相同，但相當的符合。更嚴謹的導引應該從[[狄拉克方程式]]開始，也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案，則必須用[[量子電動力學]]來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。

===磁場===
雖然在原子核的[[靜止參考系]] ({{lang|en|rest frame}}) ，並沒有作用在電子上的磁場；在電子的靜止參考系，有作用在電子上的磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為[[慣性參考系]]，則根據[[狹義相對論]]<ref name="French1968">{{cite book | author=French, A. P.|title=Special Relativity (The M.I.T Introductory Physics Series)| publisher=W. W. Norton & Company, Inc. |year=1968 |isbn=0748764224|pages=pp. 237-250}}</ref>，磁場 <math>\mathbf{B}\,\!</math> 是
:<math>\mathbf{B} = - \,\frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2}\,\!</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

其中，<math>\mathbf{v}\,\!</math> 是電子的速度，<math>\mathbf{E}\,\!</math> 是電子運動經過的電場，<math>c\,\!</math> 是[[光速]]。

以質子的位置為[[原點]]，則從[[質子]]產生的電場是
:<math>\mathbf{E}=\frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}} =\frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 r^3}\mathbf{r} \,\!</math> ；

其中，<math>Z\,\!</math> 是質子數量（[[原子序數]]），<math>e\,\!</math> 是[[單位電荷量]]，<math>\epsilon_0\,\!</math> 是[[真空電容率]]，<math>\hat{r}\,\!</math> 是徑向單位向量，<math>r\,\!</math> 是徑向距離，徑向向量 <math>\mathbf{r}\,\!</math> 是電子的位置。

電子的[[動量]] <math>\mathbf{p}\,\!</math> 是
:<math>\mathbf{p}=m\mathbf{v}\,\!</math> ；

其中，<math>m\,\!</math> 是電子的質量。

所以，作用於電子的磁場是
:<math>\mathbf{B} = \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 m c^2 r^3}\,\mathbf{r}\times\mathbf{p}= \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 m c^2 r^3}\,\mathbf{L}\,\!</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

其中，<math>\mathbf{L}\,\!</math> 是[[角動量]]，<math>\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\!</math> 。

<math>\mathbf{B}\,\!</math> 是一個正值因子乘以 <math>\mathbf{L}\,\!</math> ，也就是說，磁場與電子的軌道角動量平行。

===磁矩===
電子自旋的[[磁矩]] <math>\boldsymbol{\mu}\,\!</math> 是
:<math>\boldsymbol{\mu} = \gamma\,\mathbf{S}\,\!</math> ；

其中，<math>\gamma=\frac{g_s q_e}{2m}\,\!</math> 是[[旋磁比]] ({{lang|en|gyromagnetic ratio}}) ，<math>\mathbf{S}\,\!</math> 是自旋角动量，<math>g_s\,\!</math> 是[[朗德g因子]]，<math>q_e\,\!</math> 是[[電荷量]]。

電子的[[朗德g因子]]（g-factor）是 <math>2\,\!</math> ，電荷量是 <math> - e\,\!</math> 。所以，
:<math>\boldsymbol{\mu} =  - \frac{e}{m}\mathbf{S}\,\!</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>

電子的磁矩與自旋反平行。

===哈密頓量微擾項目===
自旋-軌道作用的[[哈密頓量]]微擾項目是
:<math>H'= - \boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}\,\!</math> 。

代入 <math>\boldsymbol{\mu}\,\!</math> 的公式 (3) 和 <math>\mathbf{B}\,\!</math> 的公式(2)，經過一番運算，可以得到

:<math>H'=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m^2 c^2}\ \frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}}{r^3}\,\!</math>

一直到現在，都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為[[托馬斯進動]] ({{lang|en|Thomas precession}}) 。因為這效應，必須添加因子 <math>1/2\,\!</math> 在公式裏。所以，
:<math>H'=\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2}\ \frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}}{r^3}\,\!</math> 。

===能級位移===
在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後，現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地，想要找到 <math>H_0\,\!</math> 的[[本徵函數]]形成的[[基底]]，使 <math>H'\,\!</math> 能夠[[可對角化矩陣|對角化]]。為了找到這基底，先定義總角動量算符 <math>\mathbf{J}\,\!</math> ：
:<math>\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\,\!</math> 。

總角動量算符與自己的內積是
:<math>\mathbf J^2=\mathbf L^2+\mathbf S^2+2\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}\,\!</math> 。

所以，
:<math>\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}= {1\over 2}(\mathbf{J}^2 - \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2)\,\!</math> 。

請注意 <math>H'\,\!</math> 與 <math>\mathbf{L}\,\!</math> 互相不[[對易算符|對易]]， <math>H'\,\!</math> 與  <math>\mathbf{S}\,\!</math> 互相不對易。讀者可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實，<math>H_0\,\!</math> 與 <math>\mathbf{L}\,\!</math> 的共同本徵函數不能被當做零微擾[[波函數]]，用來計算一階能量位移 <math>E^{(1)}\,\!</math> 。<math>H_0\,\!</math> 與 <math>\mathbf{S}\,\!</math> 的共同本徵函數也不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 <math>E^{(1)}\,\!</math> 。可是， <math>H'\,\!</math> 、<math>J^2\,\!</math> 、<math>L^2\,\!</math> 、<math>S^2\,\!</math> ，這四個算符都互相對易。<math>H_0\,\!</math> 、<math>J^2\,\!</math> 、<math>L^2\,\!</math> 、<math>S^2\,\!</math> ，這四個算符也都互相對易。所以，<math>H_0\,\!</math> 、<math>J^2\,\!</math> 、<math>L^2\,\!</math> 、<math>S^2\,\!</math> ，這四個算符的共同本徵函數 <math>|n,j,l,s\rangle\,\!</math> 可以被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 <math>E_n^{(1)}\,\!</math> ；其中， <math>n\,\!</math> 是[[主量子數]]，<math>j\,\!</math> 是總角量子數，<math>l\,\!</math> 是[[角量子數]]，<math>s\,\!</math> 是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底，就是想要尋找的基底。這共同本徵函數 <math>|n,j,l,s\rangle\,\!</math> 的 <math>\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\,\!</math> 的期望值是
:<math>\begin{align} \langle n,j,l,s\,|\,\mathbf{L}\cdot\mathbf{S} \,|\,n,j,l,s\rangle & ={1\over 2}(\langle\mathbf{J}^2\rangle - \langle\mathbf{L}^2\rangle - \langle\mathbf{S}^2\rangle) \\
 & ={\hbar^2\over 2}[j(j+1) - l(l+1) - s(s+1)] \\
 & ={\hbar^2\over 2}[j(j+1) - l(l+1) - 3/4] \\
\end{align}\,\!</math><span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，電子的自旋 <math>s=1/2\,\!</math> 。

經過一番繁瑣的運算<ref name="Griffiths2004">{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7|pages=pp. 266-276}}</ref>，可以得到 <math>r^{ - 3}\,\!</math> 的期望值
:<math>\langle n,j,l,s\,|\, r^{ - 3}\, |\,n,j,l,s\rangle=\frac{2Z^3}{a_0^3 n^3 l(l+1)(2l+1)}\,\!</math> ；

其中，<math>a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m e^2}\,\!</math> 是[[波耳半徑]]。

將這兩個期望值的公式代入，能級位移是
:<math>E_n^{(1)}=\frac{Z^4 e^2 \hbar^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2 a_0^3}\ 
\frac{[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{n^3\, l(l+1)(2l+1)}\,\!</math> 。

經過一番運算，可以得到
:<math>E_n^{(1)}=\frac{(E_n^{(0)})^2}{mc^2}\ \frac{2n[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{l(l+1)(2l+1)}\,\!</math> ；

其中，<math>E_n^{(0)}=\frac{Z^2 \hbar^2}{2m a_0^2 n^2}\,\!</math> 是主量子數為 <math>n\,\!</math> 的零微擾能級。

特別注意，當 <math>l=0\,\!</math> 時，這方程式會遇到[[除以零]]的不可定義運算；雖然[[分數|分子]]項目 <math>j(j+1) - l(l+1) - 3/4=0\,\!</math> 也等於零。零除以零，仍舊無法計算這方程式的值。很幸運地，在[[精細結構]]能量微擾的計算裏，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當 <math>l=0\,\!</math> 時，電子的軌道運動是[[球對稱位勢|球對稱]]的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來，<math>l=0\,\!</math> [[球諧函數]]是
:<math>Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\!</math> ，

由於完全跟角度無關，角動量也是零，電子並不會感覺到任何磁場，所以，電子的 <math>l=0\,\!</math> 軌道沒有自旋-軌道作用。

==參閱==
*[[斯塔克效應]]
*[[塞曼效應]]
*[[超精細結構]]
*[[蘭姆位移]]

==參考文獻==
{{reflist}}
* {{cite book | author=E. U. Condon and G. H. Shortley|title=The Theory of Atomic Spectra | url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212979| publisher=Cambridge University Press |year=1935 |id=ISBN 0-521-09209-4 }}

==外部連結==
*[[圣地牙哥加州大学]]物理系量子力学視聽教學： [https://web.archive.org/web/20100624231316/http://physicsstream.ucsd.edu/courses/fall2003/physics130b/movies/2003-10-24_full.mov 自旋-軌道作用]

[[Category:量子力學|Z]]
[[Category:原子物理學|Z]]
[[Category:自旋电子学|Z]]