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{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:数学对象;zh-tw:數學物件;
}}
[[數學]]上，'''自同構'''（automorphism）是從一個[[数学对象]]到自身的[[同構]]，可以看為這對象的一個[[對稱]]，將這對象[[映射]]到自身而保持其全部結構的一個途徑。一個對象的所有自同構的集合是一個[[群]]，稱為'''自同構群'''，大致而言，是這對象的[[空間對稱群|對稱群]]。

==定義==
自同構的精確定義，依賴於「[[數學物件]]」的種類，及這對象的「同構」的準確界定。可以定義這些概念的最一般情形，是在數學的一個抽象分支，稱為[[範疇論]]。範疇論是研究抽象對象和這些對象間的[[態射]]。

在範疇論中，自同構是一個[[自同態]]（即是一個對象到自身的一個態射）而同時為（範疇論所定義的）[[同構]]。

這是一個很抽象的定義，因為範疇論中，態射不一定是函數，對象不一定是集合。不過在更具象的情形中，對象會是有附加結構的集合，而態射會是保持這種結構的函數。

例如在[[抽象代數]]中，一個[[數學物件]]是[[代數結構]]，如[[群]]、[[環 (代數)|環]]、[[向量空間]]等。一個同構就是[[雙射]]的[[同態]]（同態按代數結構而定， 例如[[群同態]]、[[環同態]]、[[線性算子]]）。

恆等態射（[[恆等映射]]）在某些情況稱為'''平凡自同構'''。相對地，其他（非恆等）自同構稱為'''非平凡自同構'''。

==自同構群==
令 <math>G</math> 為一個[[群_(數學)|群]]。由 <math>G</math> 到自身[[群同構]]稱為 <math>G</math> 的一個'''自同構'''。所有 <math>G</math> 的自同構所構成的集合記為 <math>\text{Aut}(G)</math> ，該集合與[[函數複合|複合]]作為群運算共同構成了一個群，稱為 <math>G</math> 的'''自同構群'''。它滿足群的公理：

* [[閉包 (數學)|閉合性]]：兩個自同態的複合是另一個自同態。
* [[結合律|結合性]]：態射複合一定有結合性。
* [[單位元素]]：單位元素是一個對象到自身的恆等映射，按定義一定存在。
* [[逆元素]]：任一同構按定義都有一個也是同構的逆映射，由於這逆映射也是同一對象的自同態，所以是自同構。

在一個範疇''C''中的一個對象''X''的自同構群，記為Aut<sub>''C''</sub>(''X'')，如果內文明顯看出該範疇，可簡記為Aut(''X'')。

==例子==
* 在[[集合論]]中，一個集合''X''的元素的任一個[[置換]]是一個自同構。''X''的自同構群也稱為''X''上的[[对称群 (n次对称群)|對稱群]]。
* 在[[四則運算|初等算術]]中，[[整數]]集'''Z'''，考慮成在加法下的一個群，有唯一的非平凡自同構：取負。但是，考慮成一個[[環 (代数)|環]]，便僅有平凡自同構。一般而言，取負是任何[[阿貝爾群]]的自同構，但不是一個環或[[域 (數學)|域]]的自同構。
* 群自同構是一個群到自身的[[群同態]]。非正式而言，這是一個使得結構不變的群元素置換。對任何群''G''，有一個自然群同態''G'' → Aut(''G'')，其[[像 (數學)|像]]是[[內自同構群]]Inn(''G'')，其[[核 (代數)|核]]是''G''的[[中心 (群論)|中心]]。因此若''G''有[[平凡群|平凡]]中心，則可以嵌入到其自同構群之中。<ref name=Pahl>

{{cite book |url=http://books.google.com/?id=kvoaoWOfqd8C&pg=PA376 |page=376 |chapter=§7.5.5 Automorphisms |title=Mathematical foundations of computational engineering |edition=Felix Pahl translation |author=PJ Pahl, R Damrath |isbn=3-540-67995-2 |year=2001 |publisher=Springer}}

</ref>
* 在[[線性代數]]中，[[向量空間]]''V''的一個自同態是一個[[線性變換|線性算子]] ''V'' → ''V''。一個自同構是''V''上的一個可逆線性算子。當向量空間''V''是有限維的，其自同構群即是[[一般線性群]]GL(''V'')。
* 域自同構是從一個[[域 (數學)|域]]到自身的一個[[雙射]][[環同構]]。[[有理數]]域'''Q'''和[[實數]]域'''R'''都沒有非平凡域自同構。'''R'''的一些子域有非平凡域自同構，但不能擴展至整個'''R'''（因為它們不能保持一個數在'''R'''中有平方根的性質）。[[复数 (数学)|複數]]域'''C'''有唯一的非平凡自同構將'''R'''映至'''R'''：[[共軛複數|複共軛]]，但是有（[[不可數集|不可數]]）無限多「野性」自同構（假設[[選擇公理]]）。<ref>{{cite journal | last = Yale | first = Paul B. | journal = Mathematics Magazine | title = Automorphisms of the Complex Numbers | volume = 39 | issue = 3 | date = May 1966 | pages = 135–141 | url = http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf | doi = 10.2307/2689301 | jstor = 2689301 | access-date = 2015-08-20 | archive-date = 2020-11-08 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201108174430/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf }}</ref><ref>{{cite |last=Lounesto |first=Pertti |year=2001 |publisher= Cambridge University Press |title=Clifford Algebras and Spinors | edition = 2nd |pages= 22–23|isbn=0-521-00551-5 }}</ref>域自同構對[[域擴張]]理論很重要，尤其是[[伽羅瓦擴張]]。在一個伽羅瓦擴張''L''/''K''的情形，''L''的自同構中，在子域''K''上逐點固定的所有自同構所組成的[[子群]]，稱為該擴張的[[伽羅瓦群]]。
*[[p進數]]域'''Q'''<sub>''p''</sub>沒有非平凡自同構。
* 在[[圖論]]中，一個[[圖 (數學)|圖]]的[[圖自同構]]，是[[顶点 (图论)|頂點]]的一個置換，使得邊與非邊保持不變：兩個[[顶点 (图论)|頂點]]若有邊連接，則在置換下這兩頂點的像有邊連接，反之亦然。
* 在[[幾何學]]中，空間的一個自同構有時稱為空間的{{tsl|en|motion (geometry)|運動 (幾何)|運動}}。一些特定名詞也會使用：
** 在[[度量空間|度量幾何]]中，一個自同構是一個自[[等距同構]]。空間的自同構群也稱為空間的[[等距群]]。
** 在[[黎曼曲面]]範疇中，一個自同構是一個曲面到自身的{{tsl|en|Biholomorphism|雙全純}}映射（也稱為[[共形映射]]）。例如[[黎曼球面]]的自同構是[[莫比烏斯變換]]。
** 一個[[微分流形]]''M''的自同構是從''M''到自身的[[微分同胚]]。自同構群有時記為Diff(''M'')。
** 在[[拓撲學]]中，[[拓撲空間]]的態射是[[連續映射]]，一個拓撲空間的自同構是空間到自身的[[同胚]]，即是自同胚（見{{tsl|en|homeomorphism group|同胚群}}）。在這例子中，一個態射是雙射的，'''並不足以'''使這態射為一個同構（因其逆映射未必連續）。

==歷史==
群自同構的一個最早期的例子，是[[愛爾蘭]][[數學家]][[威廉·哈密頓]]在1856年給出。在他的{{tsl|en|Icosian calculus}}中，他發現了一個2階的自同構，<ref>{{Cite journal
|title=Memorandum respecting a new System of Roots of Unity
|author=Sir William Rowan Hamilton
|author-link=William Rowan Hamilton
|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Icosian/NewSys.pdf
|journal=[[Philosophical Magazine]]
|volume=12
|year=1856
|pages=446
|access-date=2015-08-20
|archive-date=2016-03-04
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304031213/http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Icosian/NewSys.pdf
}}</ref>
寫道：
<blockquote>使得<math>\mu</math>是新的五次單位根，與之前的五次單位根<math>\lambda</math>以完美互反性的關係相關聯。<ref>原文為"so that <math>\mu</math> is a new fifth root of unity, connected with the former fifth root <math>\lambda</math> by relations of perfect reciprocity."</ref>
</blockquote>

==內自同構和外自同構==
有一些範疇，特別是[[群]]、[[環 (代數)|環]]、[[李代數]]，其中的自同構可以分為兩種，稱為「內」自同構和「外」自同構。

對群而言，[[內自同構]]就是群本身的元素的[[共軛類#作為群作用的共軛類|共軛作用]]。對一個群''G''的每個元素''a''，以''a''共軛是一個運算''φ''<sub>''a''</sub> : ''G'' → ''G''，定義為''φ''<sub>''a''</sub>(''g'') = ''aga''<sup>−1</sup>（或''a''<sup>−1</sup>''ga''；用法各異）。易知以''a''共軛是一個群自同構。內自同構組成 Aut(''G'')的一個[[正規子群]]，記作Inn(''G'')。

其他的自同構稱為[[外自同構]]。[[商群]]Aut(''G'') / Inn(''G'')通常記為Out(''G'')；非平凡元素是包含外自同構的[[陪集]]。

在任何有幺元的環或[[代數 (環論)|代數]]中的可逆元''a''，可以同樣定義內自同構。對於李代數，定義有少許不同。

==另見==
* {{tsl|en|Endomorphism ring|自同態環}}
* {{tsl|en|Antiautomorphism|反自同構}}
* [[弗羅貝尼烏斯自同態|弗羅貝尼烏斯自同構]]
* [[態射]]
* {{tsl|en|Characteristic subgroup|特徵子群}}

==參考文獻==
<!-- See [[Wikipedia:Footnotes]] for instructions. -->
<references />

==外部連結==
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Automorphism ''Automorphism'' at Encyclopaedia of Mathematics] {{Wayback|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Automorphism |date=20190923042516 }}
* {{MathWorld | urlname=Automorphism | title = Automorphism}}

[[Category:態射]]
[[Category:抽象代數]]
[[Category:對稱]]