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{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh-cn:數學對象;zh-tw:數學物件;
}}
在数学中，'''自同态'''（{{lang-en|endomorphism}}）是从一个[[数学对象]]到它本身的[[态射]]（或[[同态]]）。例如，[[向量空间]]''V''的自同态是[[线性映射]]ƒ:&nbsp;''V''&nbsp;→&nbsp;''V''，而[[群]]''G''的自同态则是[[群同态]]ƒ:&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;''G''，等等。一般地，我们可以讨论任何[[范畴论|范畴]]中的自同态，在[[集合范畴]]中，自同态就是从集合''S''到它本身的函数。

在任何范畴中，''X''的任何两个自同态的[[复合函数|复合]]也是''X''的自同态。于是可以推出，''X''的所有自同态的集合形成了一个[[幺半群]]，记为End(''X'')（或End<sub>''C''</sub>(''X'')，以强调范畴''C''）。

==自同构==
{{main|自同构}}
{{math|''X''}}的[[逆元素|可逆]]自同态称为[[自同构]]。所有自同构的集合是{{math|End(''X'')}}的一个[[子群]]，称为{{math|''X''}}的[[自同构群]]，记为{{math|Aut(''X'')}}。在以下的图中，箭头表示蕴含：
:{| border="0"
|-
| align="center" width="42%" | [[自同构]]
| align="center" width="16%" | <math>\Rightarrow</math>
| align="center" width="42%" | [[同构]]
|-
| align="center" | <math>\Downarrow</math>
|
| align="center" | <math>\Downarrow</math>
|-
| align="center" | 自同态
| align="center" | <math>\Rightarrow</math>
| align="center" | [[同态]]
|}

==自同态环==
[[阿贝尔群]]''A''的任何两个自同态都可以相加起来，根据规则{{math|(''f'' + ''g'')(''a'') {{=}} ''f''(''a'') + ''g''(''a'')}}。在这个加法下，阿贝尔群的自同态形成了一个环（[[自同态环]]）。例如，{{math|'''Z'''<sup>''n''</sup>}}的自同态的集合是所有整系数{{math|''n'' × ''n''}}[[矩阵]]的环。向量空间或[[模]]的自同态也形成了一个环，像[[预加法范畴]]中的任何对象的自同态一样。非阿贝尔群的自同态生成了一个代数结构，称为{{le|拟环|Near-ring}}。

== 参见 ==
* [[态射]]
* [[弗罗贝尼乌斯自同态]]
* [[伴随自同态]]

== 外部链接 ==

* [https://web.archive.org/web/20080927010558/http://www.mathematics21.org/pseudomorphisms-category.xml 自同态和假象的范畴]. [http://www.mathematics21.org/ Victor Porton]. 2005. - [[范畴论|范畴]]的自同态（尤其是带有[[偏序]][[态射]]的范畴）也是一定的范畴的[[范畴论|对象]]。
* {{planetmath reference|id=7462|title=Endomorphism}}

[[Category:态射]]