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'''自反关系'''是在[[逻辑学]]和[[数学]]中一种特殊的[[二元关系]]，这样的二元关系被称为'''自反的'''，也被称为具有'''自反性'''。自反關係的一個例子是關於實數集合的“等於”關係，因為每個實數都等於它自己。[[对称性]]、[[传递性]]以及自反性是定義等價關係的三個屬性。

==定义==
对于集合X上的[[二元关系]]R，若满足：取X裡任一元素a，且滿足對於所有a皆存在(a,a)在R集合中，则称二元关系R是'''自反的'''，或称R具有'''自反性'''，或称R为'''自反关系'''。

==相关概念==
<math>\forall a \in X</math>，a = a，在一些系统中称为'''相等公理'''。

一個反自反（irreflexive, anti-reflexive）的關係，是在一個集合中沒有元素與自身相關的二元關係。例如實數上的“大於”關係（x> y）。請注意，沒有自反的各種關係，並不全都是反自反的；有些關係中，部分元素與自己相關，而部分不是。例如，“x和y的乘積是偶數”的二元關係在偶數集上是自反的，在奇數集上是反自反的，在自然數集上既不是自反，也不是反自反。

關於集合S上的一個關係，如果與某個元素相關的每個元素也與它自己有關，形式上就稱為準自反：∀x，y∈S：x〜y⇒（x〜x∧y〜y）。一個例子是關於實數序列集合的“具有相同極限”的關係：並不是每個序列都有一個極限，因此這個關係不是自反的，但是如果一個序列與某個序列具有相同的極限，具有與其本身相同的限制。

S上二元關係的自反閉包是S上最小的自反關係，它是〜的超集。等價地，它是S與S上的同一性關係的聯合，形式如下：（≃）=（¯）∪（=）。例如，x <y的自反閉包是x≤y。

在集合S上的二元關係的自反性約化或反自反核是最小的關係≆，使得≆共享與〜相同的自反閉包。它可以被看作是自反封閉的反面。 它相當於S上關於〜的形式關係的補充，形式上是：（≆）=（〜）\（=）。也就是說，除了x〜x是真的，它相當於〜。例如，x≤y的自反減少是x <y。

==特殊的自反关系==
满足[[传递性]]的自反关系称为[[预序关系]]。满足[[反对称性]]的预序关系称为[[偏序关系]]。满足[[对称性]]的预序关系称为[[等价关系]]。

==举例==
{{multiple image
| image1=GreaterThanOrEqualTo.png
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}}
自反关系举例：
* [[等于]]
* 是……的[[子集]]（集合的包含）
* 小于等于、大于等于
* [[整除]]

== n元素集合之上的關係 ==
一個“n”-元素集合上，自反關係的數目是2<sup>''n''<sup>2</sup>−''n''</sup>.<ref>On-Line Encyclopedia of Integer Sequences [[OEIS:A053763|A053763]]</ref>

{|class=wikitable style="text-align:right"
|+''n''元集上各種二元關係的數目
|-
!''n''!![[二元关系|全部]]!![[传递关系|遞移]]!![[自反关系|自反]]!![[预序关系|預序]]!![[偏序关系|偏序]]||{{link-en|嚴格弱序|Strict weak ordering|全預序}}||[[全序关系|全序]]||[[等价关系|等價]]
|-
|0||1||1||1||1||1||1||1||1
|-
|1||2||2||1||1||1||1||1||1
|-
|2||16||13||4||4||3||3||2||2
|-
|3||512||171||64||29||19||13||6||5
|-
|4||65536||3994||4096||355||219||75||24||15
|-
|''n''||2<sup>''n''<sup>2</sup></sup>|| ||2<sup>''n''<sup>2</sup>−''n''</sup>|| || ||{{math|Σ{{SubSup||''k''{{=}}0|''n''}} ''k''! ''{{link-en|第二類斯特靈數|Stirling numbers of the second kind|S}}''(''n'', ''k'')}}||''n''!||{{math|Σ{{SubSup||''k''{{=}}0|''n''}} ''{{link-en|第二類斯特靈數|Stirling numbers of the second kind|S}}''(''n'', ''k'')}}
|-
![[OEIS]]  || {{OEIS link|A002416}} || {{OEIS link|A006905}} || {{OEIS link|A053763}} || {{OEIS link|A000798}} || {{OEIS link|A001035}} || {{OEIS link|A000670}} || {{OEIS link|A000142}} || {{OEIS link|A000110}}
|}
== 參考文獻 ==
{{reflist}}
[[Category:数学关系]]