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在[[优化|优化理论]]中，'''自協調函数'''（{{Lang-en|Self-concordant function}}）是一个函数<math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>其中

<math>|f'''(x)| \leq 2 f''(x)^{3/2}</math>

或者，等价地，一个函数<math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>无论何处<math>f''(x) > 0</math>满足

<math>\left| \frac{d}{dx} \frac{1}{\sqrt{f''(x)}} \right| \leq 1</math>

并且满足<math>f'''(x) = 0</math>'''在'''其他地方。

更一般地，多元函数<math>f(x) : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math>是自協調的，如果

<math>\left. \frac{d}{d\alpha} \nabla^2 f(x + \alpha y) \right|_{\alpha = 0} \preceq 2 \sqrt{y^T \nabla^2 f(x)\,y} \, \nabla^2 f(x)</math>

或者，等效地，如果它对任意行的限制是協調的<ref>{{cite book|title=Convex Optimization|last1=Boyd|first1=Stephen P.|first2=Lieven|last2=Vandenberghe|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83378-3|url=https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf|access-date=October 15, 2011|archive-date=2021-05-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210509212522/https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf|dead-url=no}}</ref>。

== 性質 ==

* 線性結合

若<math>f_1</math>和<math>f_2</math>是自協調函數，有常數<math>M_1</math>和<math>M_2</math>，且<math>\alpha,\beta>0</math>，則<math>\alpha f_1 + \beta f_2</math>是自協調函數，且有常數<math>\max(\alpha^{-1/2} M_1, \beta^{-1/2} M_2)</math>.

* 仿射變換

若<math>f</math>是自協調函數，有常數<math>M</math>，且<math>Ax + b</math>是<math>\mathbb R^n</math>的仿射變換，则<math>\phi(x) = f(Ax+b)</math>是带有系数<math>M</math>的自協調函數

* 凸共轭

若<math>f</math>是自協調函數，则它的凸共轭<math>f^*</math>也是自協調函數<ref>{{cite journal |last1=Nesterov |first1=Yurii |last2=Nemirovskii |first2=Arkadii |date=1994 |title=nterior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming |url=https://doi.org/10.1137/1.9781611970791 |journal=Studies in Applied and Numerical Mathematics |doi=10.1137/1.9781611970791 |isbn=978-0-89871-319-0}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Sun |first1=Tianxiao |last2=Tran-Dinh |first2=Quoc |date=2018 |title=Generalized Self-Concordant Functions: A Recipe for Newton-Type Methods |url=https://archive.org/details/arxiv-1703.04599 |journal=Mathematical Programming |page=Proposition 6 |arxiv=1703.04599}}</ref>

* 非奇异[[黑森矩阵]]

如果<math>f</math>是自协调的，且域为<math>f</math>不包含直线（两个方向无穷大），那么<math>f''</math>是非奇异的。

反之，如果对于某些<math>x</math>在域<math>f</math>中，且<math>u \in \mathbb R^n, u \neq 0</math>，则有<math>\langle f''(x) u, u \rangle = 0</math>，则<math>\langle f''(x + \alpha u) u, u \rangle = 0</math>对于所有<math>\alpha</math>，此处<math>x + \alpha u</math>在<math>f</math>的域中。则<math>f(x + \alpha u)</math>是线性的并且不能有最大值，所以所有<math>x + \alpha u, \alpha \in \mathbb R</math>在<math>f</math>的域中。我们还注意到<math>f</math>其域内不能有最小值。

== 参考资料 ==


[[分類:函數]]