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'''臨界穩定'''（marginally stable）是在[[动力系统]]及[[控制理论]]中，針對系統穩定性的描述，[[線性系統|線性]][[时不变系统]]若不是[[李雅普诺夫稳定性|漸近穩定]]，但也不是[[不稳定性|不稳定]]，就屬於臨界穩定。系統若會回到某特定狀態，而且會維持在該狀態附近（稱為[[穩態 (系統)|穩態]]），即為穩定。若系統不受限制地離原狀態越來越遠，即為不穩定。臨界穩定的系統介於上述二個情形之間，若離某一穩態一段距離，系統不會回到穩態，但也不會不受限制地偏離穩態。臨界穩定有時也稱為是隨遇穩定（neutral stability）<ref name="FranklinPowell2014">{{cite book|author1=Gene F. Franklin|author2=J. David Powell|author3=Abbas Emami-Naeini|title=Feedback Control of Dynamic Systems|url=https://archive.org/details/feedbackcontrolo0005edfran|edition=5|year=2006|publisher=Pearson Education|isbn=0-13-149930-0}}</ref>。

臨界穩定和不穩定都是在控制理論中要設法避免的。理想的控制系統會希望在受到外擾擾動後，當外擾消除後，系統可以回到理想的狀態。因此需要設計控制演算法以達到此一目的。

在[[计量经济学]]中，若觀察的時間序列中有出現[[单位根 (计量经济学)|单位根]] ，表示有臨界穩定，可能會讓[[自变量和因变量]]的[[迴歸分析]]無效，除非利用適當技術，將系統轉換為穩定系統才能改善此一情形。

==連續時間系統==
{{link-en|齊次微分方程|homogeneous differential equation|齊次}}連續[[线性时不变系统理论|线性时不变系统]]為臨界穩定的[[充份必要條件]]是：系統[[传递函数]]中每個[[极点 (复分析)|极点]]的實部都為非正值，且其中有一個或多個极点實部為零，且均為相異的單根，而其他的极点實部為負值。若所有的極點實部都是負值，系統漸近穩定，若有極點實部為正，則系統不穩定。

若系統是以[[状态空间]]來表示，可以推導其[[若尔当标准型]]，再分析是否臨界穩定<ref>{{cite web |url=http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/index.php/Linear_Systems |title=Linear Systems |work=Feedback Systems Wiki |author=Karl J. Åström and Richard M. Murray |publisher=Caltech |accessdate=11 August 2014 |archive-date=2018-09-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180916104935/http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/index.php/Linear_Systems |dead-url=no }}</ref>：系統臨界穩定当且仅当其對於實部為0的若尔当區塊為純量。

==離散時間系統==
齊次離散线性时不变系统為為臨界穩定的充份必要條件是，传递函数中極點絕對值的最大值為1，且絕對值為1的極點都是相異的單根。也就是說，传递函数的[[谱半径]]為1，若谱半径小於1，系統會收斂。

以下是一個一階{{le|線性差分方程|linear difference equation}}的例子：假設狀態變數
''x''的方程如下

:<math>x_t=ax_{t-1}</math>

其參數''a'' > 0。若系統受擾動，偏離<math>x_0,</math>，其後續數列會是<math>ax_0, \, a^2x_0, \, a^3x_0, \, \dots</math>。若''a'' < 1，不論啟始值<math>x_0,</math>為何，數列會漸漸接近零。若''a'' > 1，數值會漸漸變到無限大。但若''a'' = 1，數列不會發散，也不會收斂，數列會維持<math>x_0.</math>，因此''a'' = 1的例子即為臨界穩定。

==系統響應==
臨界穩定是指一系統若給予有限振幅的[[狄拉克δ函数]]為輸入，系統不會發散到無限大，但也不會收斂到零。輸出會持續出現一定大小的偏移或是振盪，一般而言也不會有最終的穩態輸出。若連續系統輸入的頻率恰好是純虛數極點對應的頻率，系統輸出會無限制的增加（即為共振<ref>{{cite web|url=http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/unit-ii-second-order-constant-coefficient-linear-equations/pure-resonance/|title=Pure Resonance|publisher=MIT|accessdate=2 September 2015|archive-date=2021-04-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210414131714/https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/unit-ii-second-order-constant-coefficient-linear-equations/pure-resonance/|dead-url=no}}</ref>）。這也就是針對[[有界輸入有界輸出穩定性]]系統，其極點實部需要為負值（不只是非正值而已）的原因。

若連續系統有純虛數的极点，其輸出會有持續的振盪。例如沒有阻尼的二階系統，也就是沒有阻尼及摩擦力，彈簧為理想彈簧的彈簧-質量系統即為一例，此時會持續的振盪。另一個例子是沒有摩擦力的單擺，其系統在原點處也是臨界穩定。

若要臨界穩定，需要有极点恰好在虛軸（連續時間系統）上或是在單位圓（離散時間系統）上，因此在實際系統中，除非此系統在本質上就有這種特性，不然很少出現這樣的系統。

==随机过程==

在随机过程中，臨界穩定也是很重要的概念，例如有些過程會依循離散時間下的[[隨機漫步]]

:<math>x_t=x_{t-1}+e_t,</math>

其中<math>e_t</math>是[[独立同分布]]的[[误差]]，此方程有[[单位根 (计量经济学)|单位根]]（其{{le|特徵方程 (差分方程)|characteristic equation (of difference equation)|特徵方程}}的特徵值有出現1），因此會有臨界穩定，需要使用特殊的[[時間序列]]技巧，以經驗方式為有此方程的系統進行建模。

==相關條目==
*[[李雅普诺夫稳定性]]
*[[指數穩定]]

==參考資料==
{{reflist|30em}}

{{平衡}}

[[Category:动力系统]]
[[Category:稳定性理论]]