查看“︁腎形線”︁的源代码

{{Refimprove|date=2020年4月}}
[[File:EpitrochoidOn2.gif|thumb|腎形線可以用在一圓上滖動的圓來產生]]
'''腎形線'''（nephroid）是外形類似[[腎臟]]的[[平面曲线]]，其英文nephroid源自[[希腊语]]的 ὁ νεφρός （ho nephros），和[[腎臟科]]的英文nephrology有相同的字根。腎形線主要是指{{le|Richard A. Proctor|Richard A. Proctor}}在1878年提出的曲線，不過有時也會用來描述其他曲線<ref>{{cite mathworld|title=Nephroid|urlname=Nephroid}}</ref><ref>{{Cite web |title=Nephroid |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Nephroid/ |access-date=2022-08-12 |website=Maths History |language=en |archive-date=2024-03-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240315235643/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Nephroid/ |dead-url=no }}</ref>。

腎形線是六度的[[代數曲線]]，可以用一個半徑為 <math>a</math>的圓在半徑為<math>2a</math>的固定圓上滾動而得，因此腎形線也屬於[[外摆线]]，有二個[[尖點]]。腎形線是平面的簡單閉曲線，因此也是[[若爾當曲線]]。

== 方程式  ==
[[File:Nephroide-definition.svg|thumb|腎形線的定義]]
[[File:Caustic00.jpg|thumb|right|杯底的腎形線{{le|焦散|Caustic (optics)}}]]

考慮一小圓在一固定圓的外面滾動，若小圓的半徑為<math>a</math>，固定圓的圓心在<math>(0,0)</math>，半徑為<math>2a</math>，小圓的滾動角為<math>2\varphi</math>，啟始點為<math>(2a,0)</math>（如圖所示），則可以得到腎形線的
* 參數式
:<math>x(\varphi) = 3a\cos\varphi- a\cos3\varphi=6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ ,</math>
:<math>y(\varphi) = 3a \sin\varphi - a\sin3\varphi =4a\sin^3\varphi\ , \qquad 0\le \varphi < 2\pi</math>
將 <math>x(\varphi)</math> 和 <math>y(\varphi)</math> 代入以下方程
*<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2</math>
可知上述方程即為腎形線的{{le|隱函數曲線|Implicit curve|隱函數表示式}}。

若尖點是在Y軸上，則參數式為 
:<math>x=3a\cos \varphi+a\cos3\varphi,\quad y=3a\sin \varphi+a\sin3\varphi).</math>
隱函數表示式為
:<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4x^2.</math>
== 性質 ==
上述的腎形線，有以下的性質
*[[弧长]]為<math> L= 24 a, </math>
*[[面积]]為<math> A= 12\pi a^2\ </math>
*[[曲率半徑]]為 <math>\rho=|3a\sin \varphi|.</math>

== 參考資料 ==
{{Reflist}}
*Arganbright, D., ''Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions'', CRC Press, 1939, {{ISBN|0-8493-8938-0}},  p.&nbsp;54.
* Borceux, F., ''A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III'', Springer, 2014, {{ISBN|978-3-319-01735-8}}, p.&nbsp;148.
*Lockwood, E. H., ''A Book of Curves,'' Cambridge University Press, 1961, {{ISBN|978-0-521-0-5585-7}}, p.&nbsp;7.

== 外部連結 ==
{{Commonscat|Nephroid}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Nephroid.html Mathworld: nephroid] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Nephroid.html |date=20210507050744 }}
* [http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Nephroid_dir/nephroid.html Xahlee: nephroid] {{Wayback|url=http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Nephroid_dir/nephroid.html |date=20210314181514 }}

[[Category:代數曲線]]