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[[File:False_color_image_of_the_far_field_of_a_submerged_turbulent_jet.jpg|right|thumb|可视化的[[湍流]][[射流 (流体)|射流]]，使用{{Tsl|en|Planar laser-induced fluorescence|激光诱导荧光}}技术制成。射流涉及多个长度尺度，这是在湍流模型中出现能量串级的先决条件。]]

在[[连续介质力学]]中，'''能量串级'''包括能量从大尺度运动到小尺度运动的传输（称为'''正向能量串级'''）或能量从小尺度到大尺度的传输（称为'''逆向能量串级'''）。这种不同尺度之间的能量转移只能发生在[[非線性系統]]中。严格来说，串级的能量传输发生在局部（仅在非常接近的尺度之间），类似于水从一个水池流动到下一个临近水池产生的层叠瀑布，而不会出现跨越整个尺度范围的远程传输。

在对完全成形的[[湍流]]的研究中，能量串级是一个重要概念。[[路易斯·弗莱·理查德森]]作于1920年代的这首诗描写了这种现象，令人记忆深刻。能量串级对于理解{{Tsl|en|wave turbulence|波湍流}}理论中的[[波涛]]现象也很重要。

{{Quote box|quote=Big whirls have little whirls<br>that feed on their velocity, <br>And little whirls have lesser whirls<br> and so on to viscosity|source=—[[路易斯·弗莱·理查德森]], 1922<ref>{{cite book |last1=Richardson |first1=Lewis Fry |title=Weather Prediction by Numerical Processes |date=1922 |publisher=Cambridge University Press |location=Boston |isbn=9780511618291 |page=[https://archive.org/details/weatherpredictio00richrich/page/66 66] |url=https://archive.org/details/weatherpredictio00richrich |access-date=2019-02-23}}</ref>|align=left|width=30%}}

以气流在高层建筑周围形成的湍流为例。[[边界层分离]]所产生的{{Tsl|en|Eddy|涡流}}蕴含能量，其大小在数十米左右。这一尺度范围称为'''含能区'''。在气流下游的某处，空气的[[黏度]]导致的[[耗散]]主要发生在[[柯尔莫哥洛夫微尺度]]上，在这个例子中也就是毫米大小。这一尺度范围称为'''耗散区'''。而在这两个等级的尺度之间，没有外力作用，黏度也不会导致明显的耗散，却存在非线性的，从大尺度到小尺度的净能量传输。

如果含能区和耗散区之间存在很大距离，则它们之间的尺度范围称为'''惯性子区'''（英文：inertial subrange）。这些尺度上的运动可以通过[[自相似|自相似性]]来描述，或者通过对其[[统计学]]特征做出假设（从而满足[[湍封闭]]）来分析。[[安德雷·柯尔莫哥洛夫]]在1940年代开创性地推导出了对湍流惯性子区中[[波数]]谱的预测。

==湍流惯性子区中的谱==

[[File:Schematic-illustration-of-the-energy-spectrum-of-turbulent-velocity-cascade.png|thumb|right|在湍流能量谱中能量产生、串级、耗散的图示。]]

在湍流中，最大尺度的涡流蕴含最多的[[动能]]。而黏度导致的能量的耗散主要发生在最小的涡流中。[[安德雷·柯尔莫哥洛夫|柯尔莫哥洛夫]]假设，当这两种尺度之间距离很大时， 两者之间的尺度范围在统计学上具有[[各向同性]]，而它在达到平衡时的特征只取决于能量在小尺度上耗散的速率。([[耗散]]是[[机械能]]通过[[摩擦]]转化为[[热能]]的过程。）耗散速率 <math>\varepsilon</math> 可以表示用湍流中波动的{{tsl|en|strain rate|应变速率}}和流体的运动粘度 <math>\nu</math> 表示。它的[[量纲]]是能量/(单位质量·单位时间)。达到平衡状态时，在大尺度运动中产生{{tsl|en|turbulence kinetic energy|湍动能}}的速率等于小尺度运动中耗散能量的速率。

===湍流的能量谱===

湍流的[[能量谱]] <math>E(k)</math> 取决于单位质量流体的{{tsl|en|turbulence kinetic energy|湍动能}}<ref name=Pope>{{cite book|author=Pope, S.B.|title=Turbulent Flows|date=2000|publisher=Cambridge University Press}}</ref>：

:<math>\frac{1}{2} \left( \overline{u_i u_i} \right) =  \int_0^\infty E(k)\; dk. </math>

其中 <math>u_i</math> 是波动的速度的分量，上划线表示[[系综]]平均值，表达式在 <math>i</math> 上求和， <math>k</math> 是波数。所以能量谱 <math>E(k)</math> 表示的是位于波数 <math>k</math> 与 <math>k+dk</math> 之间的湍动能。较大的涡流具有较低的波数，较小的涡流具有较高的波数。

因为扩散是速度的[[拉普拉斯算子|拉普拉斯]]，耗散速率可以用能量谱表示：

:<math>\varepsilon =  2\nu \int_0^\infty k^2E(k)\; dk. </math>

其中 <math>\nu</math> 是流体的[[黏度|运动粘度]]。在这条等式中可以观察到，即使动能主要存在于低波数的运动（大涡流）中，耗散主要发生在高波数的运动（小涡流）中。

===惯性子区中的能量谱===

从低波数到高波数的能量传输称为'''能量串级'''。它把湍能量从大尺度运动传输到小尺度运动，并最终被黏度耗散掉。这之间的尺度区间，即惯性子区中，由柯尔莫哥洛夫的假设可以推导出能量谱的普遍形式：

:<math>E(k) = C \varepsilon^{2/3} k^{-5/3}. </math>

各类条件下的大量实验证据都支持这一结论。在实验中测得的数值为 <math>C=1.5</math>。<ref name=Pope />

===压强波动的谱===

湍流中的压强波动也可以以类似的方式描述。湍流中压强平方的平均值可以用压强谱 <math>\pi(k)</math> 来表示：

:<math> \overline{p^2} =  \int_0^\infty \pi(k)\; dk. </math>

对于没有平均速度梯度的湍流（各向同性湍流），惯性子区中的谱是

:<math>\pi(k) = \alpha \rho^2\varepsilon^{4/3} k^{-7/3}. </math>

其中 <math>\rho</math> 是流体的密度，<math>\alpha = 1.32 C^2 = 2.97</math>。<ref name=George>{{cite journal|doi=10.1017/S0022112084002299|journal=Journal of Fluid Mechanics|title=Pressure spectra in turbulent free shear flows|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-fluid-mechanics_1984-11_148/page/n166|author1=George, W.K. |author2=Beuther, P.D. |author3= Arndt, R.E.A. |name-list-style=amp |date=November 1984|volume=148|pages=155–191|bibcode = 1984JFM...148..155G |s2cid=119938972 }}</ref>如果有平均速度梯度（{{tsl|en|shear flow|剪切流}})，则会在惯性子区中的谱中额外附加形如 <math>k^{-11/3}</math> 的变化趋势；但在较高波数的位置，形如 <math>k^{-7/3}</math> 的变化趋势占据主导地位。

===自由流体界面微小扰动的谱===

自由流体界面下方的压强波动可以驱动液面位移。这种自由界面-湍流相互作用也可以用[[波数]]谱来描述。如果 <math>\delta</math> 是界面距离平均位置的瞬时位移，位移平方的平均值可以用位移谱 <math>G(k)</math> 来表示：

:<math> \overline{\delta^2} =  \int_0^\infty G(k)\; dk. </math>

三维形式的压强谱可以与[[杨-拉普拉斯公式]]相结合并得出<ref name=Bhunia>{{cite journal|title=Surface Disturbance Evolution and the Splattering of Turbulent Liquid Jets|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-fluids-engineering_1994-12_116_4/page/n58|journal=Journal of Fluids Engineering|author1=Bhunia, S.K. |author2=Lienhard V, J.H.|date=December 1994|volume=116|issue=4|pages=721–727|doi=10.1115/1.2911841}}</ref>：

:<math>G(k) \propto k^{-19/3}. </math>

在实验中，这一 <math>k^{-19/3}</math> 定律是在对无湍流射流表面的光学观测中得出的。<ref name=Bhunia />

==注释==
{{Reflist}}

==参考文献==
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|    publisher =     Cambridge University Press
|    oclc =          3494280
}}

[[Category:水波]]
[[Category:亂流]]