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{{merge from|能带结构|time=2012-09-24T05:43:14+00:00}}
[[File:Si-band-schematics.PNG|thumb|200px|晶体[[硅]]的能带结构示意图]][[File:BandDiagram-Semiconductors-C.PNG|thumb|200px|能带结构示意图]]
[[File:bandgap_comparison.png|right|thumb|200px|三種導電性不同的材料比較，[[金屬]]的[[價帶]]與[[傳導帶]]之間沒有距離，因此電子（紅色實心圓圈）可以自由移動。[[絕緣體]]的能隙寬度最大，電子難以從價帶躍遷至傳導帶。半導體的能隙在兩者之間，電子較容易躍遷至傳導帶中。]]

'''能带理论'''（{{lang-en|'''Energy band theory'''}}）是用[[量子力学]]的方法研究[[固体]]内部[[电子]]运动的理论。是于20世纪初期，在量子力学建立以后发展起来的一种近似理论。它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了[[导体]]与[[绝缘体]]、[[半导体]]的区别所在，解释了晶体中电子的[[平均自由程]]问题。

自20世纪六十年代，[[电子计算机]]得到广泛应用以后，使用电子计算机依据[[薛定谔方程|第一性原理]]做复杂能带结构计算成为可能，能带理论由定性发展为一门定量的精确科学。

== 能带结构简介 ==
固体材料的能带结构由多条能带组成，类似于原子中的电子能级。电子先占据低能量的能带，逐步占据高能级的能带。根据电子填充的情况，能带分为[[传导带]]（简称导带，少量电子填充）和价电带（简称[[价带]]，大量电子填充）。导带和价带间的空隙称为禁带（电子无法填充），大小为能隙（即右边第二副图中所示的<math>E_g</math>）。

能带结构可以解释固体中[[导体]]（没有能隙）、[[半导体]]（能隙 < 3 eV)、[[绝缘体]] (能隙 > 3 eV) 三大类区别的由来。材料的导电性是由“传导带”中含有的电子数量决定。当电子从“价带”获得能量而跳跃至“传导带”时，在外电场的作用下，未填满的导带能带中的电子产生净电流，材料表现出导电性。

一般常见的金属材料，因为其传导带与价带之间的“能隙”非常小，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电，而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于3电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。

== 理论基础 ==
对于理想晶体，其原子服从晶格排列，具有周期性，因而可以认为离子实的势场也具有周期性。晶体中的电子在一个周期性等效势场中运动，其波动方程为：

: <math>\left[-\frac{\hbar ^2}{2m} \nabla ^2 +V \left( r \right) \right] \psi = \mathcal E \psi</math>

其中 <math>V \left( r \right)=V \left( r+\mathbf R_n \right)</math> 为周期性等效势场，<math>\psi</math>为波函数，<math>\hbar</math>为普朗克常数，<math>m</math>为质量，<math>\nabla</math>为微分算符，<math>\mathcal E</math>为能量。理论上我们会假设理想晶体有周期性边界，因此晶格势场具有离散的平移对称性。对于原子数目非常巨大（数量级为<math>10^{20}</math>或更多）的真实材料，这是一个描述材料体态性质的很好的近似理论。



=== 布洛赫波函数 ===
[[File:BlochWave in Silicon.png|thumb|200px|right|[[硅]][[晶格]]中的布洛赫波]]
[[布洛赫波函数]]是指形如<math> \psi _k \left( \boldsymbol { r } \right) = u_k \left( \boldsymbol{ r } \right) 
\exp{ \left( i \boldsymbol{ k } \cdot  r \right) } </math> 的波函数<math>\psi</math>。其中<math>u_k \left( \boldsymbol{ r } \right) = u_k \left( \boldsymbol{ r } + \boldsymbol {T}\right)</math>具有晶格周期性（<math>\boldsymbol { T } </math>为晶格平移[[矢量]]）或是离散的平移对称性。

[[费利克斯·布洛赫|布洛赫]]本人证明，对于上述的含[[週期|周期]][[場 (物理)|势场]]的[[薛定谔方程]]，其[[解]]必为布洛赫波函数的形式。这一定理被称之为'''布洛赫定理'''。它表明，对于周期势场中的[[波动方程]]而言，其[[本征函数]]的形式为一个[[平面波]]<math>\exp{ \left( i\boldsymbol{ k } \cdot r \right) }</math>乘以一个周期性函数<math>u_k \left( \boldsymbol{ r } \right)</math>。

布洛赫函数可以表示为[[波|行波波包]]的叠加，由于[[德布罗意]]提出[[电子]]可以表示为波，从而布洛赫波函数可以表示在[[离子实]]周期性势场中自由传播的电子。

=== 近自由电子模型 ===
能带理论认为，固体内部的电子，不是被束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。本征波函数的主部是动量的本征态，散射只给出一阶修正。这个模型主要对金属适用。

=== 紧束缚近似 ===
[[紧束缚近似]]是将在一个原子附近的电子看作受该原子势场的作用为主，其他原子势场的作用看作[[微擾理論 (量子力學)|微扰]]，从而可以得到[[能级|电子的原子能级]]和[[晶体]]中[[能带]]之间的相互关系。在此近似中，能带的电子波函数可以写成布洛赫波函数之和的形式：<math>\psi^i_k = {1\over\sqrt{N}} \sum_n e^{i k \cdot \boldsymbol R_n}  \psi_i \left( \boldsymbol r - \boldsymbol R_n \right) = {1\over\sqrt{N}} \sum_n e^{i k \cdot \boldsymbol R_n} \boldsymbol W_n \left( \boldsymbol r - \boldsymbol R_n \right)</math>

其中<math>\boldsymbol W_n \left( \boldsymbol r - \boldsymbol R_n \right)</math>被称为[[瓦尼尔函数]]。

可以用[[微擾理論 (量子力學)|微扰理论]]求解该近似模型。求解结果为一个原子能级对应一条能带。基于近似的出發点，紧束缚的想法适用于半导体和绝缘体的能带，计算量较小，适合计算相当多的晶体能带。
<!-- 尚有待进一步扩充 平面波法 正交平面波法 赝势方法 -->

== 参考文献 ==
<div class="references-small">
* [[黄昆]], 《固体物理学》, ISBN 7-04-001025-9
* {{lang|en|Charles Kittel, ''Introduction to Solid State Physics'', Eighth Edition, ISBN 7-5025-7183-3}}
* {{lang|en|Ashcroft/Mermin, ''Solid State Physics'', ISBN 981-243-864-5}}
</div>

{{半导体物理学}}

[[Category:固体物理学|N]]
[[Category:凝聚體物理學|N]]

[[ar:نطاق طاقة]]