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联络 (向量丛)
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{{noteTA|G1=Math}} {{dablink|本文关于向量丛上的联络；关于数学中其他联络参见主条目[[联络]]。}} 在[[数学]]中，[[纤维丛]]上一个'''联络'''是一个定义丛上[[平行移动]]的装置；即将邻近点连接或等价的一种方法。如果纤维丛是[[向量丛]]，则平行移动的概念要求[[线性函数|线性]]。这样的联络等价于一个[[共变导数]]，共变导数是一个能对[[截面 (纤维丛)|截面]]关于底流形的[[切向量|切方向]]求微分的算子。联络在这个意义下，对任意向量丛，推广了[[光滑流形]][[切丛]]的[[线性联络]]概念，经常叫做'''线性联络'''。 向量丛上的联络也经常称为'''科斯居尔联络'''，以[[让-路易·科斯居尔]]命名，他给出了描述这个联络的一个代数框架 {{harv|Koszul|1950}}。 ==形式定义== 设 ''E'' → ''M'' 是[[光滑流形]] ''M'' 上的光滑[[向量丛]]。记 ''E'' 的光滑截面的空间为 Γ(''E'')。''E'' 上一个'''联络'''是一个 '''R'''-[[线性映射]] :<math>\nabla : \Gamma(E) \to \Gamma(E\otimes T^*M) ,</math> 使得[[莱布尼兹法则]] :<math>\nabla(\sigma f) = (\nabla\sigma)f + \sigma\otimes df</math> 对 ''M'' 上所有[[光滑函数]] ''f'' 与 ''E'' 的所有光滑截面 σ 成立。 如果 ''X'' 是 ''M'' 上一个切向量场（即[[切丛]] ''TM'' 的一个截面），我们可以定义一个'''沿着 ''X'' 的共变导数： :<math>\nabla_X : \Gamma(E) \to \Gamma(E)</math> 通过[[张量缩并|缩并]] ''X'' 与联络 ∇ 中的共变指标（即 ∇<sub>''X''</sub>σ = (∇σ)(''X'')）。共变导数满足如下性质： :<math>\begin{align}&\nabla_X(\sigma_1 + \sigma_2) = \nabla_X\sigma_1 + \nabla_X\sigma_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}\sigma = \nabla_{X_1}\sigma + \nabla_{X_2}\sigma\\ &\nabla_{X}(f\sigma) = f\nabla_X\sigma + X(f)\sigma\\ &\nabla_{fX}\sigma = f\nabla_X\sigma\end{align} .</math> 反之，任何满足如上性质的算子定义了 ''E'' 上一个联络，联络在这种意义下也称为 ''E'' 上的'''共变导数'''。 ==向量值形式== 设 ''E'' → ''M'' 是一个向量丛。一个 ''r'' 阶 [[向量值形式|''E''-值微分形式]]是[[张量积丛]] ''E''{{unicode|⊗}}Λ<sup>''r''</sup>''T''*''M'' 的一个截面。这种形式的空间记作 :<math>\Omega^r(E) = \Gamma(E\otimes\Lambda^rT^*M).</math> 一个 ''E''-值 0-形式就是 ''E'' 的一个截面，即 :<math>\Omega^0(E) = \Gamma(E).</math> 在这种记法下，''E'' → ''M'' 上一个联络是线性映射 :<math>\nabla:\Omega^0(E) \to \Omega^1(E).</math> 这样一个联络看作向量丛值形式的[[外导数]]的推广。事实上，给定 ''E'' 上一个联络 ∇ 有惟一的一种方法将 ∇ 延拓成[[共变外导数]]或称外共变导数 :<math>d^{\nabla}: \Omega^r(E) \to \Omega^{r+1}(E).</math> 不像通常的外导数，这里不必有 (''d''<sup>∇</sup>)<sup>2</sup> = 0 。事实上，(''d''<sup>∇</sup>)<sup>2</sup> 与联络 ∇ 的曲率直接相关，[[#曲率|参见下面]]。 ==仿射性质== 任何向量丛上都有联络，但是联络不是惟一的。如果 ∇<sub>1</sub> 与 ∇<sub>2</sub> 是 ''E'' → ''M'' 上两个联络则他们的差是一个 ''C''<sup>∞</sup>-线性算子。即 :<math>(\nabla_1 - \nabla_2)(f\sigma) = f(\nabla_1\sigma - \nabla_2\sigma)</math> 对 ''M'' 上所有光滑函数 ''f'' 与 ''E'' 的所有截面 σ 成立。从而推出差 ∇<sub>1</sub> − ∇<sub>2</sub> 由 ''M'' 上一个取值于自同态丛 End(''E'') = ''E''{{unicode|⊗}}''E''* 的 1-形式诱导 :<math>(\nabla_1 - \nabla_2) \in \Omega^1(\mathrm{End}\,E).</math> 反之，如果 ∇ 是 ''E'' 上一个联络而 ''A'' 是 ''M'' 上取值为 End(''E'') 的 1-形式，则 ∇+''A'' 是 ''E'' 上一个联络。 换句话说，''E'' 上联络的空间是一个对 Ω<sup>1</sup>(End ''E'') 的[[仿射空间]]。 ==与主丛及埃雷斯曼联络的关系== 设 ''E'' → ''M'' 是一个秩 ''k'' 向量丛，令 F(''E'') 是 ''E'' 的[[主丛|主]][[标架丛]]。则 F(''E'') 上一个[[联络 (主丛)|（主）联络]]诱导了 ''E'' 上一个联络。首先注意到 ''E'' 的截面与[[等变|左等变]]映射 F(''E'') → '''R'''<sup>''k''</sup> 一一对应（这由考虑 ''E'' 在F(''E'') → ''M'' 上的[[拉回丛|拉回]]可以看出来，同构于平凡丛 F(''E'') × '''R'''<sup>''k''</sup>）。给定 ''E'' 的一个截面 σ，设对应的等变映射为 ψ(σ)。则 ''E'' 上的共变导数由 :<math>\psi(\nabla_X\sigma) = X^H(\psi(\sigma))</math> 给出，这里 ''X''<sup>''H''</sup> 是 ''X'' 的水平提升（回忆到水平提升由 F(''E'') 上一个联络确定）。 反之，''E'' 上一个联络确定了 F(''E'') 上一个联络，且这两个构造是互逆的。 ''E'' 上一个联络也等价地由 ''E'' 上一个[[埃雷斯曼联络#向量丛与共变导数|线性埃雷斯曼联络]]确定。这提供了构造相关的主联络的一个方法。 ==局部表示== 设 ''E'' → ''M'' 是一个秩 ''k'' 向量丛，令 ''U'' 是 ''M'' 的一个开子集使得 ''E'' 在 ''U'' 上平凡。 给定 ''E'' 在 ''U'' 上一个局部[[光滑标架]] (''e''<sub>1</sub>, …,''e''<sub>''k''</sub>)，''E'' 的任何截面 σ 可写成 <math>\sigma = \sigma^\alpha e_\alpha</math>（使用[[爱因斯坦记号]]）。那么 ''E'' 上一个联络限制在 ''U'' 上具有形式： :<math>\nabla\sigma = (\mathrm d\sigma^\alpha + {\omega^\alpha}_\beta \sigma^\beta)e_{\alpha},</math> 这里 :<math>{\omega^\alpha}_\beta\,e_\alpha = \nabla e_\beta.</math> 这里 ω<sup>α</sup><sub>β</sub> 定义了一个 ''k'' × ''k'' 矩阵，矩阵元取值为''U'' 上的 1-形式。事实上，给定任何如上形式的矩阵定义了 ''E'' 限制在 ''U'' 上一个联络。这是因为 ω<sup>α</sup><sub>β</sub> 确定了一个 1-形式 ω 取值于 End(''E'')，这个表达式定义 ∇ 为联络 d+ω，这里 d 是 ''E'' 在 ''U'' 上的平凡联络（定义为用局部标架对截面微分）。在这种情景下 ω 也称为 ∇ 关于这个局部标架的'''[[联络形式]]'''。 如果 ''U'' 是一个具有坐标 (''x''<sup>''i''</sup>) 的坐标邻域，则我们可以写成 :<math>{\omega^\alpha}_\beta = {{\omega_i}^\alpha}_\beta\,\mathrm dx^i.</math> 注意坐标与纤维指标在表达式中混合在一起。系数函数 ω<sub>''i''</sub><sup>α</sup><sub>β</sub> 对指标 ''i'' 具有张量性（它们定义了一个 1-形式）但对指标 α 与 β 不是。对纤维指标的变换法则更加复杂。设 (''f''<sub>1</sub>, …,''f''<sub>''k''</sub>) 是 ''U'' 上另一个光滑局部标架，将坐标变换矩阵记作 ''t''（即 ''f''<sub>α</sub> = ''e''<sub>β</sub>''t''<sup>β</sup><sub>α</sub>）。关于标架(''f''<sub>α</sub>) 的联络矩阵由矩阵表达式给出 :<math>\varpi = t^{-1}\omega t + t^{-1}\mathrm dt,</math> 这里 d''t'' 是对 ''t'' 的分量取外导数得到的 1-形式矩阵。 此局部坐标中关于这个局部标架场 (''e''<sub>α</sub>) 的共变导数由如下表达式给出： :<math>\nabla_X\sigma = X^i(\partial_i\,\sigma^\alpha + {{\omega_i}^\alpha}_\beta\sigma^\beta)e_{\alpha}.</math> ==平行移动与和乐== 向量丛 ''E'' → ''M'' 上一个联络 ∇ 定义了 ''E'' 上沿着 ''M'' 的一条曲线的[[平行移动]]概念。设 γ : [0, 1] → ''M'' 是 ''M'' 上一条光滑[[道路 (拓扑学)|道路]]。''E'' 的沿着 γ 的一个截面 σ 称为'''平行'''，如果 :<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}\sigma = 0</math> 对所有 ''t'' ∈ [0, 1] 成立。更形式地，我们可考虑 ''E'' 通过 γ 的[[拉回丛|拉回]] γ*''E''。这是 [0, 1] 上在 ''t'' ∈ [0, 1] 处纤维为 ''E''<sub>γ(''t'')</sub> 的纤维丛。''E'' 上的联络 ∇ 拉回到 γ*''E'' 上一个联络。γ*''E'' 的一个截面 σ 平行[[当且仅当]] γ*∇(σ) = 0. 假设 γ 在 ''M'' 中从''x'' 到 ''y''。如上定义平行截面的等式是一个一阶[[常微分方程]]从而对任何可能的初始条件有惟一解。即对任何向量 ''v'' 属于 ''E''<sub>''x''</sub> 存在 γ*''E'' 的惟一平行截面 σ 满足 σ(0) = ''v''。定义'''平行移动映射''' :<math>\tau_\gamma : E_x \to E_y\,</math> 为 τ<sub>γ</sub>(''v'') = σ(1)。可以证明 τ<sub>γ</sub> 是一个[[线性同构]]。 平行移动可以用来定义联络 ∇ 以 ''M'' 中一点 ''x'' 为基点的[[和乐群]]。这是 GL(''E''<sub>''x''</sub>) 的一个子群，由沿着基于 ''x'' [[环路 (拓扑学)|环路]]的所有平行移动映射组成： :<math>\mathrm{Hol}_x = \{\tau_\gamma : \gamma</math> 是一个基于 ''x'' 的环路 <math>\} .</math> 一个联络的和乐群本质上与这个联络的曲率相关。 ==曲率== ''E'' → ''M'' 上联络 ∇ 的'''曲率'''是一个 ''M'' 上 2-形式 ''F''<sup>∇</sup>，取值于自同态丛 End(''E'') = ''E''{{unicode|⊗}}''E''*，即 :<math>F^\nabla \in \Omega^2(\mathrm{End}\,E) = \Gamma(\mathrm{End}\,E\otimes\Lambda^2T^*M).</math> 曲率定义为表达式 :<math>F^\nabla(X,Y)(s) = \nabla_X\nabla_Y s- \nabla_Y\nabla_X s- \nabla_{[X,Y]}s,</math> 这里 ''X'' 与 ''Y'' 是 ''M'' 上的切向量场，''s'' 是 ''E'' 的一个截面。可以验证 ''F''<sup>∇</sup> 对 ''X'' 与 ''Y'' 都是 ''C''<sup>∞</sup>-线性的，从而确实定义了一个 ''E'' 的丛同态。 正如[[#向量值形式|上面]]所提及的，共变外导数 ''d''<sup>∇</sup> 作用在 ''E'' 值形式上的平方不必是零。无论如何算子 (''d''<sup>∇</sup>)<sup>2</sup> 严格有张量性（即 ''C''<sup>∞</sup>-线性）。这意味着它由一个取值于 End(''E'') 的 2-形式诱导，这个 2-形式恰好就是如上给出的曲率形式。对一个 ''E''-值形式 σ 我们有 :<math>(d^\nabla)^2\sigma = F^\nabla\wedge\sigma.</math> 一个'''平坦联络'''是曲率形式恒等于零的联络。 ==例子== * 一个经典[[共变导数]]或[[仿射联络]]在 ''M'' 的[[切丛]]上，或更一般地在切丛与其对偶[[余切丛]]的[[张量丛]]上，定义了一个联络。 * [[列维-奇维塔联络]]是[[黎曼流形]]的切丛上一个联络。 * [[外导数]]是 ''E'' = ''M'' × '''R'''<sup>''n''</sup>（''M'' 上平凡向量丛）上一个平坦联络。 * 更一般地，在任何[[平坦向量丛]]（即所有转移函数是常数）上有一个典范平坦联络，由在任何平凡化下的外导数给出。 ==参考文献== * {{citation|last=Chern|first=Shiing-Shen||authorlink=陈省身|title=Topics in Differential Geometry|series=Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes|year=1951}} *{{citation | first = R. W. R. | last = Darling | title = Differential Forms and Connections | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge, UK | year = 1994 | isbn = 0-521-46800-0}} *{{citation | first1 = Shoshichi | last1 = Kobayashi | first2 =Katsumi|last2=Nomizu | title = Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 | series = Wiley Classics Library | publisher = Wiley-Interscience | location = New York | year = 1996 | origyear = 1963 | isbn = 0-471-15733-3}} * {{citation| last = Koszul | first = J. L. | title = Homologie et cohomologie des algebres de Lie | journal = Bulletin de la Société Mathématique | volume = 78 | year = 1950 | pages = 65-127}} * {{citation|last=Wells|first=R.O.|title=Differential analysis on complex manifolds|year=1973|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=0-387-90419-0}} [[Category:联络|L]] [[Category:向量丛|L]]
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