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{{dablink|本文关于主丛上的联络；对数学中其他类型的联络参见[[联络]]。}}

在[[数学]]中，丛上一个[[联络]]是定义了一种[[平行移动]]概念的装置；即将邻近点上的[[纤维]]“连接”或等价的一种方法。[[光滑流形]]''M''上[[主丛|主G-丛]]''P''上一个'''主'''''G''-'''联络'''是一类特殊的联络，它与群''G''的作用相容。

主联络可以视为是[[埃雷斯曼联络]]概念的一类特例，经常称为主埃雷斯曼联络。它给出了通过[[配丛]]构造相配于''P''的任何[[纤维丛]]上一个（埃雷斯曼）联络。特别地，在任何[[配向量丛]]上主联络诱导了一个[[联络 (向量丛)|共变导数]]，一个能对这个丛的光滑[[截面 (纤维丛)|截面]]关于沿着底流形上[[切向量|切方向]]微分的算子。主联络将光滑流形[[标架丛]]上的[[线性联络]]推广到任何主丛上。

==正式定义==

设''π'':''P''→''M''是[[光滑流形]]''M''上一个光滑[[主丛|主''G''-丛]]。则''P''上一个'''主''G''-联络'''是''P''上一个[[向量值微分形式|取值于''G''的李代数]]<math>\mathfrak g</math>的微分1-形式，并满足''G''-等变以及产生''P''上的基本向量场的李代数生成集。

换句话说，它是<math>\Omega^1(P,\mathfrak g)\cong C^\infty(P, T^*P)\otimes\mathfrak g</math>中一个元素''ω''使得
# <math>\hbox{Ad}(g)(R_g^*\omega)=\omega</math>这里''R''<sub>''g''</sub>表示用''g''右乘；
# 如果<math>\xi\in \mathfrak g</math>和''X''<sub>''ξ''</sub>是''P''上的向量场关联于  ''ξ''利用''G''在''P''作用的微分，则''ω''(''X''<sub>''ξ''</sub>) = ''ξ''（在  ''P''上等同）。

有时术语“主G-联络”表示二元组(''P'',''ω'')，而''ω''自己称为这个主联络的'''[[联络形式]]'''或'''联络1-形式'''。

===与埃雷斯曼联络的关系===
''P''上一个主G-联络以如下方式确定了''P''上一个[[埃雷斯曼联络]]。首先注意到基本向量场生成了''G''在''P''上的作用给出了从''P''的[[铅直丛]]''V''（满足''V''<sub>''p''</sub>=''T''<sub>''p''</sub>(''P''<sub>''π''(''p'')</sub>)到<math>P\times\mathfrak g</math>的一个丛同构。从而''ω''定义了惟一的丛映射''v'':''TP''→''V''，在''V''上是恒同。这个投影''v''由它的[[核 (代数)|核]]惟一确定，它是''TP''的一个光滑子丛''H''（称为[[水平丛]]）使得''TP''=''V''⊕''H''。这是一个埃雷斯曼联络。

反之，''P''上一个埃雷斯曼联络''H''⊂''TP''（或''v'':''TP''→''V''）定义了一个主''G''-联络''ω''当且仅当它在<math>H_{pg}=\mathrm d(R_g)_p(H_{p})</math>的意义下''G''-等变。

===局部平凡化中的形式===
主丛''P''的一个[[局部平凡化]]由''P''在一个''M''的开子集''U''上的一个截面''s''给出。则主联络的[[拉回 (微分几何)|拉回]]''s''<sup>*</sup>''ω''是一个''U''上一个取值于<math>\mathfrak g</math>的1-形式。如果截面''s''被由(''sg''，''x'') = ''s''(''x'')''g''(''x'')定义的一个新截面''sg''代替，这里''g'':''M''→''G''是一个光滑映射，则(''sg'')<sup>*</sup>''ω'' = ''s''<sup>*</sup>''ω''+''g''<sup>-1</sup>d''g''。主联络惟一地由这样一族<math>\mathfrak g</math>-值1-形式确定，这些1-形式也称为'''联络形式'''或'''联络1-形式'''，特别是在比较旧或以物理为中心的文献中。

===主联络丛===
群''G''通过右平移作用在[[切丛]]''TP''。[[商空间]]''TP''/''G''也是一个流形，继承了''TM''上一个[[纤维丛]]结构，可记作''dπ'':''TP''/''G''→''TM''。设ρ:''TP''/''G''→''M''是到''M''的投影映射。丛''TP''/''G''的纤维在投影ρ下携带一个加法结构。

丛''TP''/''G''称为'''主联络丛'''{{harv|Kobayashi|1957}}。dπ:''TP''/''G''→''TM'' A的一个[[截面 (纤维丛)|截面]]Γ使得Γ : ''TM'' → ''TP''/''G''是''M''上向量丛的一个线性同态，可与''P''中一个主联络等同。反之，如上定义的一个主联络给出了这样''TP''/''G''的一个截面Γ。

最后，设Γ是这样意义的一个主联络。令''q'':''TP''→''TP''/''G''是其商映射。联络的水平分布是丛

:<math>H = q^{-1}\Gamma (TM) \subset TP</math>。

===仿射性质===
如果''ω''与''ω' ''是主丛''P''上两个主联络，则差''ω' ''- ''ω''是''P''上一个<math>\mathfrak g</math>-值1-形式，它不仅''G''-等变，也是'''水平的'''。这里所谓水平是指在''P''的任何铅直丛''V''上为零。从而它是'''基本的'''，因此能被''M''上取值于[[伴随丛]] 
:<math>\mathfrak g_P:=P\times_G\mathfrak g</math>
一个1－形式确定。反之，任何这样的形式定义了（通过拉回）''P''上一个''G''-等变水平1-形式。所以主''G''-联络的空间是关于这个1-形式空间的一个[[仿射空间]]。

==诱导的共变外导数==
对''G''的任何[[线性表示]]''W''，有一个''M''上的[[配向量丛]]<math> P\times_G W</math>，一个主联络诱导了这个向量丛上一个[[联络 (向量丛)|共变导数]]。这个共变导数可利用<math> P\times_G W</math>在''M''上截面的空间同构于''P''上''G''-等变''W''-值函数的事实来定义。更一般地，[[向量值微分形式|取值]]于<math> P\times_G W</math>的''k''-形式之空间等同于''P''上''G''-等变且水平的''W''-值''k''-形式之空间。如果''α''是这样一个''k''-形式，则其[[外导数]]d''α''，尽管''G''-等变，但不再水平。不过，复合d''α''+''ω''Λ''α''却是。这样定义了一个[[外共变导数]]d<sup>''ω''</sup>从''M''上<math> P\times_G W</math>-值''k''-形式到''M''上<math> P\times_G W</math>-值(''k''+1)-形式。特别地，当''k''=0，我们得到了<math> P\times_G W</math>上一个共变导数。

==曲率形式==
主''G''-联络''ω''的[[曲率形式]]是<math>\mathfrak g</math>-值2-形式Ω定义为
:<math>\Omega=d\omega +\tfrac12 [\omega\wedge\omega]</math>。
它是''G''-等变以及水平的，从而对应于一个''M''上取值为<math>\mathfrak g_M</math>的2-形式。曲率与这个量相等也称为“第二结构方程”。

==标架丛上的联络及其挠率==
如果主丛''P''是[[标架丛]]，或更一般地如果他有一个{{link-en|焊接形式|solder form}}（{{lang|en|solder form}}），则此联络是[[仿射联络]]的一个例子，曲率不仅不变，由焊接形式''θ''的加法结构，也要考虑到它是''P''上一个'''R'''<sup>n</sup>-值1-形式。特别地，''P''上的[[挠率形式]]，是一个
'''R'''<sup>n</sup>-值2-形式Θ定义为
:<math> \Theta=\mathrm d\theta+\omega\wedge\theta</math>。
Θ是''G''-等变及水平的，从而它下降为''M''上一个切值2-形式，称为挠率。这个等式也称为“第一结构方程”。

==参考文献==
* {{citation | first = Shoshichi | last = Kobayashi |author-link=小林昭七| title = Theory of Connections | journal = Ann. Mat. Pura Appl. | year = 1957 | volume = 43 | pages = 119-194}}
* {{citation | last1=Kobayashi|first1=Shoshichi|last2=Nomizu|first2=Katsumi |author2-link=野水克己| title = Foundations of Differential Geometry|volume=Vol. 1| publisher=Wiley-Interscience | year=1996|edition=New edition|isbn=0471157333}}
* {{citation|last1=Kollár|first1=Ivan|last2=Michor|first2=Peter|last3=Slovák|first3=Jan|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|title=Natural operators in differential geometry|year=1993|publisher=[[Springer-Verlag]]|access-date=2008-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20170330154524/http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|archive-date=2017-03-30|dead-url=yes}}

[[Category:联络|L]]
[[Category:纤维丛|L]]