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在[[數學]]中，'''考克斯特群'''是一類由空間中對[[超平面]]的鏡射生成的[[群]]。這類群廣泛出現於數學的各分支中，[[二面體群]]與正[[多胞體]]的對稱群都是例子；此外，[[根系 (数学)|根系]]對應到的[[外爾群]]也是考克斯特群。這類群以數學家[[哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特]]命名。

==形式定義==
所謂'''考克斯特群'''，是一個群 <math>W</math> 寫成如下的表達式，即由滿足一些交互關係的生成元生成的群
:<math>\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle</math>
其中 <math>m_{ij} \in \N \cup \{\infty\}</math> 滿足 <math>m_{ii} = 1</math> 以及 <math>m_{ij} \geq 2</math> 對所有 <math>i \neq j</math>。在此 <math>m_{ij} = \infty</math> 意指 <math>(r_i r_j)^m</math> 恆不等於單位元。

注意到 <math>r_i^2 = e</math>；若 <math>m_{ij}=2</math>，則 <math>r_i r_j = r_j r_i</math>。且 m 滿足對稱性 <math>m_{ij}=m_{ji}</math>。

令這組生成元為 <math>S</math>。資料 <math>(W,S)</math> 稱為考克斯特群。方陣 <math>(m_{ij})_{ij}</math> 稱為'''考克斯特矩陣'''。

==性質==
[[File:Finite coxeter.png|500px|right|thumb|有限考克斯特群的分類]]
設 <math>(W,S)</math> 為考克斯特群，可證明存在一個有限維實矢量空間 <math>V</math> 及其上的非退化[[雙線性形]] <math>q</math>（未必正定），使得 <math>W</math> 同構於正交群 <math>O(q)</math> 的某個子群。由於 <math>S</math> 的元素均為二階，可視之為 <math>(V,q)</math> 中對某些超平面的鏡射。

利用 <math>(W,S)</math> 的展示，定義元素的'''長度'''如下：對 <math>w \in W</math>，定義其長度 <math>\ell(w)</math> 為所有表法 <math>w = r_{i_1} \cdots r_{i_s} \; (r_j \in S)</math> 中最短的 <math>s</math>。由此可導出
: <math>\forall s \in S, \; \ell(ws) = \ell(w) \pm 1</math>
: <math>\ell(w^{-1}) = \ell(w) </math>

==例子==
* [[對稱群 (n次對稱群)|對稱群]] <math>S_n</math> 是考克斯特群。在此可取 <math>S</math> 為置換 <math>(1,2), (2,3), \ldots, (n-1,n)</math>；關係為 <math>((k,k+1)(k+1,k+2))^3 = 1</math>。

* 正多胞體的對稱：正多胞體的對稱群是有限考克斯特群。舉例明之：[[正多邊形]]的對稱群是二面體群，正 n 維單形的對稱群是前述的 <math>S_{n+1}</math>，又稱為 <math>A_n</math> 型的考克斯特群。n 維[[超正方體]]的對稱群為 <math>BC_n</math>。[[正十二面體]]與[[正二十面體]]的對稱群是 <math>H_3</math>。在四維空間中，存在三種特別的正多胞體──[[正二十四胞體]]、[[正一百二十胞體]]與[[正六百胞體]]，其對稱群分別是 <math>F_4, H_4, H_4</math>。<math>D_n, E_6, E_7, E_8</math> 可以由某些半正多胞體的對稱群得到。

* [[外爾群]]：每個根系的外爾群都是有限考克斯特群。

* [[仿射外爾群]]：仿射外爾群是無限群，但帶有一個正則阿貝爾子群，使得對應的商群是個外爾群。

==分類==
一般而言，兩個群展示的同構與否是無法判定的。然而對考克斯特群則有一個簡單的判準，稱為交換條件。可以透過[[考克斯特-丹金圖]]分類有限考克斯特群。圖的構造方式為：
# 每個生成元對應到一個頂點。
# 若 <math>m_{ij} \geq 3</math>，則頂點 <math>r_i, r_j</math> 之間有邊相連。
# 若 <math>m_{ij} \geq 4</math>，則將邊標上 <math>m_{ij}</math>。

==文獻==
* Larry C Grove and Clark T. Benson, ''Finite Reflection Groups'' (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
* Paul Garrett, ''Buildings and Classical Groups'' (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . [http://www.math.umn.edu/~garrett/m/buildings/ PostScript 檔案下載] {{Wayback|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/m/buildings/ |date=20161220215355 }} .
* James E. Humphreys, ''Reflection Groups and Coxeter Groups'' (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.

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[[Category:群論|C]]