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{{About|群的高阶主题|基本概念|群}}
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在[[数学]]和[[抽象代数]]中，'''群论'''（{{lang-en|Group theory}}）研究名为[[群]]的[[代数结构]]。

[[群]]在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括[[环 (代数)|环]]、[[域 (数学)|域]]和[[向量空间]]等可以看作是在群的基础上添加新的[[运算]]和[[公理]]而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。{{le|线性代数群|Linear algebraic group}}和[[李群]]作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。

群论的重要性还体现在[[物理学]]和[[化学]]的研究中，因为许多不同的物理结构，如[[晶体]]结构和[[氢原子]]结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的[[群表示论]]在物理学和化学中有大量的应用。

群论中的重要结果，[[有限单群分类]]是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。

== 历史 ==
{{main|{{WikidataLink|Q1053855}}}}
群论在历史上主要有三个来源：[[数论]]，[[代数方程]]理论和[[几何学]]。数论中出现的对群的研究始于[[莱昂哈德·欧拉]]，之后由[[卡尔·弗里德里希·高斯]]在对[[模算术]]和与[[二次域]]相关的乘法和加法的研究中进行了发展。群论的概念在[[代数数论]]中首先被隐含地使用，后来才显式地运用它们。

关于[[置换群]]的早期结果出现在[[约瑟夫·拉格朗日]]、[[保羅·魯菲尼]]和[[尼尔斯·阿贝尔]]等人关于高次方程一般解的工作中。1830年，[[埃瓦里斯特·伽罗瓦]]第一个用群的观点来确定[[多项式方程]]的可解性。伽罗瓦首次使用了术语“群”，并在新生的群的理论与[[域论]]之间建立起了联系。这套理论现在被称为[[伽罗瓦理论]]。[[阿瑟·凯莱]]和[[奥古斯丁·路易·柯西]]进一步发展了这些研究，创立了[[置换群]]理论。

群论的第三个主要历史渊源来自几何。群论在[[射影几何]]中首次显示出它的重要性，并在之后的[[非欧几何]]中起到了作用。[[菲利克斯·克莱因]]用群论的观点，在不同的几何学（如[[欧几里德几何]]、[[双曲几何]]、[[射影几何]]）之间建立了联系，即[[爱尔兰根纲领]]。1884年，[[索菲斯·李]]开始研究[[数学分析|分析学]]问题中出现的群（现在称为[[李群]]）。

属于不同领域的来源导致了群的不同记法。群的理论从约1880年起开始统一。在那之后，群论的影响一直在扩大，在20世纪早期促进了[[抽象代数]]、[[表示论]]和其他许多有影响力的子领域的建立。[[有限單群分類|有限单群分类]]是20世纪中叶一项规模庞大的工作，对一切的[[有限集合|有限]][[单群]]进行了分类。

== 分类==
{{Main|群|群的类型}}
群论考虑的群的类型从有限置换群和一些特殊的[[矩阵群]]逐渐进展到抽象群。这些抽象群可以由[[群的生成集合|生成元]]和[[关系 (数学)|关系]]给定。

=== 置换群 ===
{{Main|置换群}}
'''置换群'''是第一类被系统研究的群。对给定的集合<math>X</math>，<math>X</math>到自身的一些[[双射]]（通常叫做''置换''）的集合<math>G</math>如果在[[映射的复合|复合运算]]和[[逆映射|求逆运算]]下封闭，那么称<math>G</math>是一个[[群作用|作用]]于<math>X</math>上的群。如果<math>X</math>包含<math>n</math>个元素而<math>G</math>包含所有可能的置换，那么<math>G</math>被称为[[对称群]]<math>S_n</math>。一般地，任何置换群都是<math>X</math>的对称群的[[子群]]。[[凯莱定理]]表明，通过构造'''左正规表示'''，任何一个群都可以视作自身上的一个变换群。

=== 矩陣群 ===
{{Main|矩陣群}}
例子：[[李群]]

=== 變換群 ===
如果集合<math>A</math>的所有一一变换作成群，则称为<math>A</math>的一一变换群或对称群。
设<math>G</math>是一个非空集合，<math>G</math>的元素间定义一种运算“<math>\circ</math>”。如果<math>G</math>满足以下的条件：
1.（运算封闭性）对于<math>G</math>中的任意两个元素<math>a</math>、<math>b</math>，恒有<math>a\circ b\in G</math>；
2.（结合律）对于<math>G</math>中的任意三个元素<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>，恒有<math>\left ( a\circ b \right )\circ c=a\circ\left ( b\circ c \right )</math>；
3.（单位元）存在单位元<math>e\in G</math>，使得对于<math>G</math>中的任意元素<math>a</math>，都有<math>e\circ a=a</math>；
4.（逆元）对于<math>G</math>中的任意元素<math>a</math>，存在<math>a</math>的逆元<math>b\in G</math>，使得<math>b\circ a=e</math>。
则称<math>G</math>关于运算“<math>\circ</math>”作为一个群。简称<math>G</math>是一个群。
设<math>A</math>是一个非空集合，<math>A</math>的若干个一一变换对于变换的乘法所作成的群称为<math>A</math>的一个变换群。

=== 抽象群 ===
一个集<math>G</math>，如果它不是空集，而且满足以下四个条件，就叫做群：
①<math>G</math>中有一个闭合的结合法。这就是说，<math>G</math>中任意两元<math>a,b</math>的结合<math>c</math>仍然是<math>G</math>中元。结合法通常写成乘法，这时<math>c</math>又叫做<math>a,b</math>的积。一般用记号<math>ab=c</math>或<math>a\cdot b=c</math>表示。要注意，积<math>ab</math>虽然是由<math>a,b</math>唯一决定的，但一般它还与<math>a,b</math>的顺序有关。即<math>ab</math>不一定等于<math>ba</math>。
②<math>G</math>的结合法满足结合律。也就是说，对于<math>G</math>中任意三元<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>，有<math>\left ( ab \right )c=a\left ( bc \right )</math>。
③<math>G</math>中有一个（左）单位元<math>e</math>，对<math>G</math>中任意元<math>a</math>，有<math>ea=a</math>。事实上由于可以证明群的左单位元也是右单位元，因而一般把<math>e</math>就叫做单位元。
④对于<math>G</math>中任意元<math>a</math>，在<math>G</math>中有一个满足<math>a^{-1}a=e</math>的（左逆元）<math>a^{-1}</math>，此处<math>e</math>就是上面的（左）单位元。实际上，可以证明，在群中，<math>a</math>的左逆元也是右逆元。因此，一般把<math>a^{-1}</math>就叫<math>a</math>的逆元。

=== 拓撲群／代數群 ===
设<math>G</math>是拓扑空间，又是一个群，而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的，即从拓扑空间<math>G\times G</math>到拓扑空间<math>G</math>上的映射<math>m:\left ( x,y \right )\rightarrow x\cdot y</math>及从<math>G</math>到<math>G</math>上的映射<math>f:x\rightarrow x</math>都是连续映射，则称<math>G</math>为拓扑群。如果<math>G</math>作为拓扑空间是局部紧(或紧、连通、单连通)的,则称G为局部紧(或紧、连通、单连通)拓扑群。例如，<math>n</math>维欧氏空间中所有向量所成的加群，再加上通常的拓扑，就是一个交换拓扑群；实数域R上所有n阶非奇异方阵所成的乘法群<math>GL(n,R)</math>，再加上通常的拓扑，是一个局部紧拓扑群；而所有行列式为1的正交矩阵所成的群<math>SO(n,R)</math>是一个紧连通拓扑群。
从拓扑群<math>G</math>到拓扑群H内的映射<math>f:G\rightarrow H</math>，如果作为群结构它是群同态，作为拓扑空间的映射它是连续的，那么<math>f</math>称为从拓扑群<math>G</math>到拓扑群H的同态，简称同态。如果同态f是双射, 而且逆映射<math>f</math>也是连续的，那么f称为拓扑群<math>G</math>到拓扑群H上的同构映射，简称“同构”。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。
在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。

== 应用 ==
群论在数学上被广泛地运用，通常以[[自同构群]]的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。

[[阿贝尔群]]概括了另外几种抽象集合研究的结构，例如[[环 (代数)|环]]、[[域 (數學)|域]]、[[模]]。

在[[代数拓扑]]中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。

[[李群]]的概念在[[微分方程]]和[[流形]]中都有很重要的角色，因其结合了群论和[[分析学]]，[[李群]]能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫[[调和分析]]。

在[[组合数学]]中，[[交换群]]和[[群作用]]常用来简化在某些集合内的元素的计算。

后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方，就会有它的影子，例如物理學的[[超弦理論]]。

== 参考资料==
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link= | title=Linear algebraic groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012  | year=1991 | volume=126 | doi=10.1007/978-1-4612-0941-6}}
* {{Citation | last1=Carter | first1=Nathan C. | title=Visual group theory | url=http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/ | publisher=[[Mathematical Association of America]] | series=Classroom Resource Materials Series | isbn=978-0-88385-757-1 | mr=2504193 | year=2009 | accessdate=2022-03-12 | archive-date=2021-12-19 | archive-url=https://web.archive.org/web/20211219212802/http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/ }}
* {{Citation | last1=Cannon | first1=John J. | title=Computers in group theory: A survey | mr=0290613  | year=1969 | journal=Communications of the ACM | volume=12 | pages=3–12 | doi=10.1145/362835.362837| s2cid=18226463 }}

== 外部链接 ==
* [http://theprincipia.blogspot.com/2009/08/7-writing.html 稱對的對稱——遊走於科學與藝術間] {{Wayback|url=http://theprincipia.blogspot.com/2009/08/7-writing.html |date=20190502072744 }}

{{数学领域}}
{{ModernAlgebra}}

{{Authority control}}
[[Category:群论|*]]
[[分类:数学分支]]
[[ml:ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം]]