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{{Groups}}

在數學上，'''群範疇'''（表記為'''Grp'''或'''Gp'''<ref>{{Cite book |title=Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories |last1=Borceux |first1=Francis |last2=Bourn |first2=Dominique |publisher=Springer |year=2004 |pages=20 |isbn=1-4020-1961-0 |url=https://books.google.com/books?id=olmeksCI22cC&pg=PA20 |access-date=2022-06-22 |archive-date=2022-06-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220622205025/https://books.google.com/books?id=olmeksCI22cC&pg=PA20 }}</ref>）指的是以[[群]]為物件、以[[同態]]映射為[[態射]]，也因此這是個[[具體範疇]]，而研究這範疇的理論即是[[群論]]。

==與其他範疇的關係==
群範疇有兩個以群範疇為定義域的[[遺忘函子]]，其中一個是映射至[[幺半群]]的函子M: '''Grp → Mon'''；另一個是映射至[[集合範疇]]的函子U: '''Grp → Set'''。在這其中，M有兩個[[伴隨函子]]，其中一個I: '''Mon→Grp'''是右伴隨函子；而另一個K: '''Mon→Grp'''則是左伴隨函子；其中I: '''Mon→Grp'''是將所有的幺半群映射至其可逆元素的子幺半群的函子；而K: '''Mon→Grp'''則是將所有的幺半群映射至{{link-en|格羅滕迪克群|Grothendieck group}}的函子；此外，遺忘函子U: '''Grp → Set'''則有一個以合成函子形式出現的左伴隨函子KF: '''Set→Mon→Grp'''，其中F是[[自由函子]]，這自由函子會將每個集合S映射至由S產生的[[自由群]]。

==範疇性質==
群範疇當中的[[單態射]]即是同態[[單射]]；而其{{link-en|滿態射|Epimorphism}}即是同態[[满射]]；而其同構映射即是同態[[雙射]]。

群範疇是{{link-en|完全範疇|Complete category}}，也同時是{{link-en|餘完全範疇|Cocomplete category}}。其[[积 (范畴论)|範疇─理論積]]即是群的[[直積]]；而其{{link-en|餘積|Coproduct}}則是群的[[自由積]]。這個範疇的[[始对象和终对象|零對象]]則是[[當然群]]，也就是只包含單位元的群。

===非可加性故非交換性===
{{link-en|阿貝爾群範疇|Category of abelian groups}}'''Ab'''是群範疇的[[子範疇|完全子範疇]]。Ab是一個[[交換範疇]]，但群範疇本身不是交換範疇；事實上，群範疇甚至不是[[可加範疇]]，而這是因為在兩個群同態之間，通常沒有可自然定義的「和」之故。以下為其證明：

三階[[對稱群 (n次對稱群)|對稱群]]''S''<sub>3</sub>映至自己的映射<math>E=\operatorname{Hom}(S_3,S_3)</math>有十個元素，其中''z''是一個<math>E</math>中的任一元素與之相乘都會得到''z''的元素（也就是將群中每個元素都映至單位元的映射）；此外，有三個元素是一個固定邊的乘積總與自己相等的元素（也就是將這個群映至其二階子群的映射）；另外還有六個是自同態映射。假定群範疇是個可加範疇，那這個有十個元素的集合<math>E</math>就會是一個[[环 (代数)|環]]；而在任何的環當中，都會有一個零元素0，使得對環中所有的元素''x''而言，都有0''x''=''x''0=0，因此''z''會是<math>E</math>中的零元素；然而，在<math>E</math>，沒有任何兩個非零元素的乘積會是''z''，因此這會是一個無[[零因子]]的環；而一個無[[零因子]]的[[有限環]]會是一個[[域 (数学)|域]]，但沒有一個[[域 (数学)|域]]會有十個元素，而這是因為每個[[有限域]]的元素個數都會是[[質數]]的[[幂]]之故。

===正合序列===
在群範疇中，[[正合序列]]是有意義的，而一些在阿貝爾範疇中成立的定理及其結果，像是[[九引理]]以及[[五引理]]等，在群範疇中也成立。群範疇是一個{{link-en|正則範疇|Regular category}}。

==參考資料==
{{Reflist}}
* {{Cite book
|first=Robert
|last=Goldblatt
|title=Topoi, the Categorial Analysis of Logic
|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3
|access-date=2009-11-25
|edition=Revised
|year=2006
|orig-year=1984
|publisher=[[Dover Publications]]
|isbn=978-0-486-45026-1
|archive-date=2020-03-21
|archive-url=https://web.archive.org/web/20200321030307/http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3
}}

{{範疇論}}
[[Category:範疇論中的範疇|Groups]]
[[Category:群論]]