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在[[數學]]中，[[群]] ''G'' 叫做[[子群]]的集合 {''H''<sub>''i''</sub>} 的'''直和'''，如果
* 每個 ''H''<sub>''i''</sub> 是 ''G'' 的[[正規子群]]，
* 每對不同的子群都有平凡的交集，并且
* ''G'' = <{''H''<sub>''i''</sub>}>；換句話說，''G'' 是子群 {''H''<sub>''i''</sub>} [[群的生成集合|生成]]的。

==解說==

如果 ''G'' 是子群 ''H'' 和 ''K'' 的直和，則我們寫為 ''G'' = ''H'' + ''K''；如果 ''G'' 是子群集合 {''H''<sub>''i''</sub>} 的直和，我們經常寫為 ''G'' = ∑''H''<sub>''i''</sub>。不嚴格的說，直和[[同構]]於子群的弱[[直積]]。

在[[抽象代數]]中，這種構造方法可以推廣為[[向量空間]]、[[模]]和其他結構的直和；詳情參見條目[[直和]]。

這個符號是符合[[交換律]]的；所以在兩個子群的直和的情況下，''G'' = ''H'' + ''K'' = ''K'' + ''H''。它還是符合[[結合律]]的，在如果 ''G'' = ''H'' + ''K'' 并且 ''K'' = ''L'' + ''M'' 則 ''G'' = ''H'' + (''L'' + ''M'') = ''H'' +  ''L'' + ''M'' 的意義上。

可以表達為非平凡子群的直和的群被叫做“可分解”的；否則叫做“不可分解”的。

如果 ''G'' = ''H'' + ''K''，則可以證明:

* 對於所有 ''H'' 中的 ''h'' 和 ''K'' 中的 ''k''，有 ''h''*''k'' = ''k''*''h''。
* 對於所有 ''G'' 中的 ''g''，存在唯一的 ''H'' 中的 ''h'' 和 ''K'' 中的 ''k'' 使得 ''g'' = ''h''*''k''。
* 有直和在商群中的消除，即 (''H'' + ''K'')/''K'' 同構於 ''H''。

上述斷言可以推廣到 ''G'' = ∑''H''<sub>''i''</sub> 的情況，這里的 {''H''<sub>i</sub>} 是子群的有限集合。

* 如果 ''i'' ≠ ''j''，則對于所有 ''H''<sub>''i''</sub> 中的 ''h''<sub>''i''</sub> 和 ''H''<sub>''j''</sub> 中的 ''h''<sub>''j''</sub>，有著 ''h''<sub>''i''</sub> * ''h''<sub>''j''</sub> = ''h''<sub>''j''</sub> * ''h''<sub>''i''</sub>。
* 對於每個 ''G'' 中的 ''g''，有唯一的 {''h''<sub>''i''</sub> ∈ ''H''<sub>''i''</sub>} 使得
:''g'' = ''h''<sub>1</sub>*''h''<sub>2</sub>* ... * ''h''<sub>''i''</sub> * ... * ''h''<sub>''n''</sub>。
* 有直和在商群中的消除；即 ((∑''H''<sub>''i''</sub>) + ''K'')/''K'' 同構於 ∑''H''<sub>''i''</sub>。

注意類似於[[直積]]，這里的每個 ''g'' 可以唯一的表達為
:''g'' = (''h''<sub>1</sub>,''h''<sub>2</sub>, ..., ''h''<sub>''i''</sub>, ..., ''h''<sub>''n''</sub>)。

因為 ''h''<sub>''i''</sub> * ''h''<sub>''j''</sub> = ''h''<sub>''j''</sub> * ''h''<sub>''i''</sub> 對於所有 ''i'' ≠ ''j''，可推出在直和中的元素的乘積同構於對應的在直積中的元素的乘積；因此對於子群的有限集合，∑''H''<sub>''i''</sub> 同構於直積 &times;{''H''<sub>''i''</sub>}。

==直和的等價 ==

直和對於群不是唯一的；例如在[[克萊因四元群]] ''V''<sub>4</sub> = ''C''<sub>2</sub> &times; ''C''<sub>2</sub> 中，我們有 
:''V''<sub>4</sub> = <(0,1)> + <(1,0)> 和 
:''V''<sub>4</sub> = <(1,1)> + <(1,0)>。

但是，[[Remak-Krull-Schmidt定理]]聲稱給定有限群 ''G'' = ∑''A''<sub>''i''</sub> = ∑''B''<sub>''j''</sub>，這里的每個 ''A''<sub>''i''</sub> 和每個 ''B''<sub>''j''</sub> 都是不平凡的并且不可分解的，則兩直和分別涉及到的子群在重新排序后同构意义下是等價的。

Remak-Krull-Schmidt 定理對無限群無效，所以在無限 ''G'' = ''H'' + ''K'' = ''L'' + ''M'' 的情況下，即使在所有子群都是非平凡的并且不可分解的，我們不能假定 ''H'' 同構於要么 ''L'' 要么 ''M''。

== 推廣到在無限集合上的和 ==

如果我們希望在 ''G'' 是子群的無限(可能不可數)集合的直和的情況下描述上述性質，我們需要更加的小心。

如果 ''g'' 是群的集合的[[笛卡爾積]] ∏{''H''<sub>''i''</sub>} 的元素，設 ''g''<sub>''i''</sub> 是在乘積中的 ''g'' 的第 ''i'' 個元素。 群的集合 {''H''<sub>''i''</sub>} 的'''外直和'''(寫為 ∑<sub>'''''E'''''</sub>{''H''<sub>''i''</sub>}) 是 ∏{''H''<sub>''i''</sub>} 的子集，這里對於每個 ∑<sub>'''''E'''''</sub>{''H''<sub>''i''</sub>} 的元素 ''g''，''g''<sub>''i''</sub> 是單位元 <math>e_{H_i}</math> 對於除了有限個之外的所有 ''g''<sub>''i''</sub> (等價的說只有有限個 ''g''<sub>''i''</sub> 不是單位元)。在外直和中的群運算是逐點乘法，如在平常直積中那樣。

應當容易的明白這個子集確實形成了群；對于群 ''H''<sub>''i''</sub> 的無限集合，外直和同一於直積。

那么如果 ''G'' = ∑''H''<sub>''i''</sub>，則 ''G'' 同構於 ∑<sub>'''''E'''''</sub>{''H''<sub>''i''</sub>}。因此在某種意義上，直和是“內部”外直和。我們有了對於每個 ''G'' 中的元素 ''g''，有一個唯一有限集合 ''S'' 和唯一的 {''h''<sub>''i''</sub> ∈ ''H''<sub>''i''</sub> : ''i'' ∈ ''S''} 使得 ''g'' = ∏ {''h''<sub>''i''</sub> : ''i'' ∈ ''S''}。

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