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在[[抽象代數]]中，[[群]] <math>G</math> 的'''生成集合'''是[[子集]] ''S'' 使得所有 ''G'' 的所有元素都可以表達為 ''S'' 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積。

更一般的說，如果 ''S'' 是群 ''G'' 的子集，則 <math>S</math> 所生成的子群 <''S''> 是包含所有 ''S'' 的元素的 ''G'' 的最小[[子群]]，這意味著它是包含 ''S'' 元素的所有子群的交集；等價的說，<''S''> 是 ''G'' 中所有可以用 ''S'' 的元素和它們的逆元中的有限乘積表達的元素的子群。 

如果 ''G'' = <''S''>，則我們稱 ''S'' '''生成''' ''G''；S 中的元素叫做'''生成元'''或'''群生成元'''。如果 ''S'' 是空集，則 <''S''> 是平凡群 {''e''}，因為我們認為空乘積是單位元。

在 ''S'' 中只有一個單一元素 ''x'' 的時候，<''S''> 通常寫為 <''x''>。在這種情況下，<''x''> 是 ''x'' 的冪的'''循環子群'''，我們稱這個[[循環群]]是用 ''x'' 生成的。與聲稱一個元素 ''x'' 生成一個群等價，還可以聲稱它有[[階 (群論)|階]] |G|，或者說 <''x''> 等于整個群 G。

==有限生成群==

如果 ''S'' 是有限的，則群 ''G'' = <''S''> 叫做'''有限生成群'''。[[有限生成阿貝爾群]]的結構特別容易描述。很多對有限生成群成立的定理對一般的群無效。

所有有限群是有限生成群因為 <''G''> = ''G''。[[整數]]集在加法下的群是由 <1> 和 <-1> 二者有限生成的無限群的例子，但是[[有理數]]集在加法下的群不能有限生成。[[不可數集|不可數]]群都不能有限生成。

同一個群的不同子集都可以是生成子集；比如，如果 p 和 q 是 [[最大公約數|gcd]](''p'',&nbsp;''q'') = 1 的整數，則 <{''p'', ''q''}> 還生成整數集在加法下的群(根據[[貝祖等式]])。

儘管有限生成群的所有[[商群]]是有限生成群為真(簡單的在商群中選取生成元的像)，有限生成群的[[子群]]不必須是有限生成群，例如，設 ''G'' 是有兩個生成元 ''x'' 和 ''y'' 的[[自由群]]，(它明顯是有限生成群，因為 ''G'' = <{''x'',''y''}>)，并設 ''S'' 是由形如 ''y''<sup>''n''</sup>''xy''<sup>&minus;''n''</sup> 的所有 ''G'' 的元素構成子集，這里的 ''n'' 是[[自然數]]。因為 <''S''> 明顯[[同構]]於有可數個生成元的自由群，它不能被有限生成。但是，所有有限生成[[阿貝爾群]]的子群完全是有限生成群。更進一步: 所有有限生成群的類在[[群擴張]]下閉合。要看出這個結論，選取(有限生成)[[正規子群]]和商群的生成集合: 正規子群的生成元和商群的生成元的前像一起生成了這個群。

==自由群==

由集合 ''S'' 生成的最一般的群是 ''S'' [[自由群|自由生成]]的群。所有 ''S'' 生成的群[[同構]]於這個群的[[因子群]]，這個特征實用於一個群的[[群的展示|展示]]的表達中。

==Frattini子群==

一個有趣的伙伴主題是'''非生成元'''。群 ''G'' 的元素 ''x'' 是非生成元，如果生成 ''G'' 的包含 ''x'' 的所有集合 ''S'' 在把 ''x'' 從 ''S'' 中去掉的時候仍生成 ''G''。在帶有加法的整數集中，唯一的非生成元是 0。所有的非生成元的集合形成了 ''G'' 的子群，叫做 [[Frattini子群]]。

==例子==

[[可逆元]]的群 U('''Z'''<sub>9</sub>) 是所有的[[互質|互素]]於 9 的整數在 mod 9 乘法下的群(U<sub>9</sub> ={1,2,4,5,7,8})。這里的所有算術都要[[模運算|模]]以 9。7 不是 U('''Z'''<sub>9</sub>) 的生成元，因為

:<math>\{7^i\pmod{9}\ |\ i \in \mathbb{N}\} = \{7,4,1\}</math>。

而 2 是，因為:

:<math>\{2^i\pmod{9}\ |\ i \in \mathbb{N}\} = \{1,2,4,5,7,8\}</math>。

在另一方面，大小為 ''n'' 的 [[對稱群 (n次對稱群)|n次對稱群]]不是循環群，因此它不能由任何一個元素生成。但是它可以從兩個置換 (1 2) 和 (1 2 3 ... ''n'') 生成。例如，對於 ''S''<sub>3</sub> 我們有:

:''e'' = (1 2)(1 2)
:(1 2) = (1 2)
:(2 3) = (1 2)(1 2 3)
:(1 3) = (1 2 3)(1 2)
:(1 2 3) = (1 2 3)
:(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

無限群也可以有有限生成集合。整數集的加法群有 1 作為生成集合。元素 2 不是生成集合，因為它不能生成奇數。兩元素子集 {3, 5} 是生成集合，因為 (-5) + 3 + 3 = 1 (事實上，任何一對互素的數都可以，這是[[貝祖等式]]的結論)。

==參見==

* [[凱萊圖]]
* [[群的展示]]
* [[有限生成]]

==引用==
* {{citation | last=Lang | first=Serge | author-link=Serge Lang | title=Algebra | edition=3rd | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=211 | publisher=Springer-Verlag | date=2002}}.

== 外部連結 ==

* [http://mathworld.wolfram.com/GroupGenerators.html Mathworld: Group generators] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/GroupGenerators.html |date=20190604164159 }}

[[Category:群論]]