查看“︁群的展示”︁的源代码

{{Otheruses
|subject=組合群論中一種定義群的方法(Presentation of a group)
|other=通过群作用于其他空间来研究群的學科(Group representation)
|群表示論
}}

在[[數學]]中，'''展示'''是定義[[群]]的一種方法。通過指定'''[[群的生成集合|生成元]]'''的集合 ''S'' 使得這個群的所有元素都可以寫為某些這種生成元的乘積，和這些生成元之間的'''關係'''的集合 ''R''。稱 ''G'' 有展示
:<math>\langle S \mid R\rangle</math>。
非正式的說，''G'' 有上述展示如果它是 S 所生成的只服從關係 ''R'' 的“最自由的群”。正式的說，群 ''G'' 被稱為有上述展示如果它[[群同構|同構]]於 ''S'' 上的[[自由群]]模以關係 ''R'' 生成的[[正規子群]]的[[商群]]。

作為一個簡單的例子，''n'' 階[[循環群]]有展示
:<math>\langle a \mid a^n = e\rangle</math>。
這里的 <math>e</math> 是群單位元。它可以等價的寫為
:<math>\langle a \mid a^n\rangle</math>，
因為把不包括等號的項認為是等于群單位元。這種項叫做關係元(relator)，區別於包括等號的關係。

所有群都有一個展示，并且事實上有很多不同的展示；展示經常是描述群結構的最簡潔方式。

一個密切關聯但不同的概念是群的[[群的絕對展示|絕對展示]]。

== 背景 ==

集合 ''S'' 上的[[自由群]]是其每個元素都可以唯一描述為如下形式的有限長度的乘積的群:

:<math>s_1^{a_1} s_2^{a_2} \ldots s_n^{a_n}</math>

這里的每個 ''s''<sub>''i''</sub> 是 S 的一個元素，對於任何 ''i'' 有 ''s''<sub>''i''</sub> ≠ ''s''<sub>''i''+1</sub>；而每個 ''a''<sub>''i''</sub> 是非零整數。用不太正式的術語，群由在生成元和它們的逆元中的字組成，只服從用其逆元消除生成元的規則。

如果 ''G'' 是任何群，而 ''S'' 是 ''G'' 的生成子集，則 ''G'' 的所有元素也有如上形式；但是一般的說，這些乘積不能唯一的描述 ''G'' 的一個元素。 

例如，[[二面體群]] ''D''<sub>8</sub> 可以生成自 8 階的旋轉 ''r''和 2 階的翻轉 ''f''；而 ''D''<sub>8</sub> 的任何特定元素都是若干 ''r'' 和 ''f'' 的乘積。 

但是，比如有 ''r f r'' = ''f''， ''r''<sup> 7</sup> = ''r''<sup> −1</sup> 等；所以這種乘積在 ''D''<sub>8</sub> 中不是唯一的。每個這種乘積等價可以表達為等于單位元的等式；比如

:''r f r f'' = 1
:''r''<sup> 8</sup> = 1
:''f''<sup> 2</sup> = 1

非正式的，我們可以認為在左側的乘積是自由群 ''F'' = &lt;''r'',''f''&gt; 的元素，并認為是這些字串生成 ''F'' 的子集 ''R''；其中每個在被當作在 ''D''<sub>8</sub> 中的乘積的時候還等價於 1。

如果我們接著讓 ''N'' 是由 ''R'' 的所有共軛的集合 ''x''<sup> −1</sup> ''R x'' 生成的 ''F'' 的子群，則 ''N'' 是 ''F'' 的正規子群；而 ''N'' 的每個元素，在被當作在 ''D''<sub>8</sub> 中的乘積的時候，也被求值為 1。因此 ''D''<sub>8</sub> 同構於[[商群]] ''F'' /''N''。我們接著稱 ''D''<sub>8</sub> 有展示
:<math>\langle r, f \mid r^8 = f^2 = (rf)^2 = 1\rangle</math>。

== 形式定義 ==

設 ''S'' 是集合并設 <''S''> 是在 ''S'' 上的[[自由群]]。設 ''R'' 是在 ''S'' 上的[[字 (群論)|字]]的集合，所以 ''R'' 自然的給出了一個 <''S''> 的子集。要形成帶有展示的 <''S''|''R''> 的群，想法是選取最小的 <''S''> 的商群，使得 ''R'' 的每個元素被當作同單位元一樣。注意 ''R'' 可能不是[[子群]]也就更不是 <''S''> 的[[正規子群]]了，所以我們不能用 ''R'' 天真的求商。解決方式是在 <''S''> 選取 ''R'' 的[[共軛閉包|正規閉包]] ''N''，它被定義為包含 ''R'' 的 <''S''> 的最小正規子群。群 <''S''|''R''> 接著被定義為[[商群]]
:<math>\langle S \mid R \rangle = \langle S \rangle / N</math>。
''S'' 的元素叫做 <''S''|''R''> 的'''生成元'''而 ''R'' 的元素叫做'''關係元'''。群 ''G'' 被稱為有展示 <''S''|''R''> 如果 ''G'' 同構於 <''S''|''R''>。

實踐中經常把關係元寫為 <math>x</math> = <math>y</math> 形式，這里的 <math>x</math> 和 <math>y</math> 是在 <math>S</math> 上的字。這意味著 <math>y^{-1}x \in R</math>。還有一個直覺意義是 ''x'' 和 ''y'' 的像被假定在商群中是相等的。因此比如在關係元列表中的 <math>r^n</math> 等價於 <math>r^n=1</math>。另一個常用簡寫是把[[交換子]] <math>xyx^{-1}y^{-1}</math> 寫為 <math>[x,y]</math>。

一個展示被稱為'''有限生成'''的，如果 <math>S</math> 是有限的并且是'''有限關聯'''的即 <math>R</math> 是有限的。如果二者都是有限的它被稱為'''有限展示'''。群是'''有限生成'''的(亦或是'''有限關聯'''的，'''有限展現'''的)，如果它有有限生成的(亦或是有限關聯的，有限展示的)的展示。

如果 <math>S</math> 用所有自然數 <math>\mathbb{N}</math> 或它的有限子集構成的集合 <math>I</math> 來[[索引集|索引]](index)，則容易建立一種簡單的從在 <math>S</math> 上的自由群到自然數的一對一的編碼(或[[哥德爾數]]) <math>f:\langle S\rangle\rightarrow\mathbb{N}</math>，使得我們可以找到算法從給定 <math>f(w)</math> 計算 <math>w</math> 或反之。我們可以稱 <math><S>\ </math> 的子集 <math>U</math> 是[[遞歸集合|遞歸]]的(亦或是[[遞歸可枚舉集合|遞歸可枚舉]])的，如果 <math>f(U)</math> 是遞歸的(亦或是遞歸可枚舉的)。如果 <math>S</math> 是如上索引的而 <math>R</math> 是遞歸可枚舉的，則這個展示是'''遞歸展示'''而對應的群是'''遞歸展現'''的。這種用法好像很奇怪，但是有可能證明如何群有帶有 <math>R</math> 遞歸可枚舉的展示則它還有另一個帶有 <math>R</math> 遞歸的展示。

對于有限群 <math>G</math>，[[凱萊表|乘法表]]提供了一種展示。我們選取 <math>S</math> 為 <math>G</math> 的元素 <math>g_i</math>，<math>R</math> 為形如 <math>g_ig_jg_k^{-1}</math> 的所有字，這里的 <math>g_ig_j=g_k\ </math> 是在乘法表是中的一個表項。展示可以被認為是乘法表的推廣。

所有有限展現的群是遞歸展現的，但是有不能有限展現的遞歸展現的群。但是 [[Graham Higman]] 的一個定理聲稱有限生成的群有遞歸展現，當且僅當它可以被嵌入到有限展現的群中。從它我們可以得出只有(不別同構之異)[[可數集合|可數]]多個有限生成的遞歸展現的群。[[Bernhard Neumann]] 已經證明了有[[不可數集合|不可數]]多個不同構的兩生成元的群。所以有不能遞歸展現的有限生成群。

== 例子 ==

下表列出了經常研究的群的表示的一些例子。注意在每種情況下都有多種可能的其他展示。列出的展示不必然是最有效的那種可能。
{| class="wikitable"
!群 || 展示 || 注釋
|-
| ''S'' 上的[[自由群]] || <math>\langle S \mid \varnothing \rangle</math>
| 自由群是在它不服從任何關係的意義上稱為自由的。
|-
| ''C''<sub>''n''</sub>，''n'' 階[[循環群]]
| <math>\langle a \mid a^n \rangle</math>
|
|-
| ''D''<sub>2''n''</sub>，2''n'' 階[[二面體群]] 
| <math>\langle r, f \mid r^n, f^2, (rf)^2  \rangle</math>
| 這里的 ''r'' 表示旋轉而 ''f'' 表示翻轉 
|-
| ''D''<sub>∞</sub>, [[無限二面體群]]
| <math>\langle r, f \mid f^2, (rf)^2 \rangle</math>
|
|-
| Dic<sub>''n''</sub>，[[雙循環群]]
| <math>\langle r, f \mid r^{2n} = 1, r^n = f^2, frf^{-1} = r^{-1} \rangle</math>
| [[四元群]]是 ''n'' = 2 時的特殊情況
|-
| '''Z''' × '''Z'''
| <math>\langle x, y \mid xy=yx \rangle</math>
| 
|-
| '''Z'''<sub>''m''</sub> × '''Z'''<sub>''n''</sub>
| <math>\langle x, y \mid x^m=1, y^n=1, xy=yx \rangle</math>
| 
|-
| ''S'' 上的[[自由阿貝爾群]] 
| <math>\langle S \mid R \rangle</math> 這里的 ''R'' 是 ''S'' 上的[[自由群]]的元素的所有[[交換子]]的集合
| 
|-
| [[对称群 (n次对称群)|對稱群]]，''S''<sub>''n''</sub>
| 生成元: <math>\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}</math><br />關係:
* <math>{\sigma_i}^2 = 1</math>,
* <math>\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1</math>,
* <math>\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}</math>

最后的關係集合可以被變換為 
* <math>{(\sigma_i\sigma_{i+1}})^3=1</math>
使用 <math> {\sigma_i}^2=1 </math>。
| 這里 <math>\sigma_i</math> i是交換第 ''i'' 個元素與第 ''i''+1 個元素的置換。乘積 <math>\sigma_i \sigma_{i+1}</math> 是在集合 <math> \{i,i+1,i+2\} </math> 上的 3-循環。
|-
| [[編織群]]，''B''<sub>''n''</sub> 
| 生成元: <math>\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}</math><br />
關係:
* <math>\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1</math>,
* <math>\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}</math>
| 注意同對稱群的相似性；唯一的不同是關係 <math>{\sigma_i}^2 = 1</math> 的免除。
|-
| [[四面體群]], ''T'' ≅ ''A''<sub>4</sub>
| <math>\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^3 \rangle</math>
| 
|-
| [[八面體群]], ''O'' ≅ ''S''<sub>4</sub>
| <math>\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^4 \rangle</math>
| 
|-
| [[二十面體對稱|二十面體群]], ''I'' ≅ ''A''<sub>5</sub>
| <math>\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle</math>
| 
|-
| [[四元群]], ''Q''
| <math>\langle i,j \mid i^4, i^2j^2, ijij^{-1} \rangle</math>
| 
|-
|<math>SL_2(\mathbb{Z})</math> 
|<math>\langle a,b \mid aba=bab, (aba)^4 \rangle</math>
|在拓撲上可以把 ''a'' 和 ''b'' 可視化為在[[環面]]上的[[Dehn扭曲]]。
|-
|<math>GL_2(\mathbb{Z})</math> 
|<math>\langle a,b,j \mid aba=bab, (aba)^4,j^2,(ja)^2,(jb)^2 \rangle</math>
| 
|-
|<math>PSL_2(\mathbb{Z})</math> 
|<math>\langle a,b \mid a^2, b^3 \rangle</math>
|PSL<sub>2</sub>('''Z''') 是循環群 '''Z'''<sub>2</sub> 和 '''Z'''<sub>3</sub> 的[[自由積]]。
|-
|[[海森堡群]] 
|<math>\langle x,y,z \mid z=xyx^{-1}y^{-1}, xz=zx, yz=zy \rangle</math>
| 
|-
|[[Baumslag-Solitar群]]，''B''(''m'',''n'')
|<math>\langle a, b \mid  a^n = b a^m b^{-1}  \rangle</math>
| 
|}

== 一些定理 ==

'''所有群 ''G'' 都有表示'''。要得出這個結論請考慮在 ''G'' 上的自由群 <''G''>。因為 ''G'' 明顯的生成自身它應當可以通過 <''G''> 的商群得到。實際上，通過自由群的[[泛性質]]，存在唯一一個覆蓋了恒等映射的[[群同態]] φ : <''G''> → ''G''。設 ''K'' 是這個同態的[[核 (代數)|核]]。則 ''G'' 明顯的有展示 <''G''|''K''>。注意這個展示是高度低效的，因為 ''G'' 和 ''K'' 二者都比所需要的大很多。

所有有限群都有限展示。

[[群的字問題]]的否定解答聲稱有一個有限展示 <''S''|''R''>，它沒有算法能對給出的兩個字 ''u'', ''v'' 確定 ''u'' 和 ''v'' 是否描述了群中的同一個元素。

== 自由積 ==

如果 ''G'' 有展示 <''S''|''R''> 而 ''H'' 有展示 <''T''|''Q''>，并有著 ''S'' 和 ''T'' 是不相交的，則[[自由積]] ''G * H'' 有展示 <''S,T''|''R,Q''>。

== 直積 ==

如果 ''G'' 有展示 <''S''|''R''> 而 ''H'' 有展示 <''T''|''Q''>，并有著 ''S''
和 ''T'' 是不相交的，則 ''G'' 和 ''H'' 的[[直積]]有展示 <''S,T''|''R,Q, [S,T]''>。這里 [''S,T''] 意味著來自 ''S'' 的所有元素與來自 ''T'' 的所有元素的[[交換子]]集合。

== 參見 ==
* [[凱萊圖]]

== 引用 ==

* {{cite book | author=Johnson, D. L. | title=Presentations of Groups | url=https://archive.org/details/presentationsofg0000john_z8f6 | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1990 | id=ISBN 0-521-37824-9}}  Schreier's method, Nielsen's method, free presentations, subgroups and HNN extensions, {{tsl|en|Golod-Shafarevich theorem||Golod-Shafarevich theorem}}, etc.

* {{cite book | author=Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J.  | title=Generators and Relations for Discrete Groups | location=New York | publisher=Springer-Verlag | year=1980 | id=ISBN 0-387-09212-9}} This useful reference has tables of presentations of all small finite groups, the reflection groups, and so forth.

[[Category:組合群論]]
[[Category:词语组合]]