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在[[抽象代數]]中，'''群環'''是從一個[[群]] <math>G</math> 及[[交換環]] <math>R</math> 構造出的環，通常記為 <math>R[G]</math> 或 <math>RG</math>。其定義為：

: <math>R[G] := \bigoplus_{g \in G} R e_g \qquad</math> （換言之，這是由基底 <math>\{ e_g : g \in G\}</math> 張出的[[自由模|自由]] <math>R</math>-模）

其上的 <math>R</math>-線性乘法運算由 <math>e_g \cdot e_h = e_{gh}</math> 給出。<math>R[G]</math> 對 <math>R</math>-模的加法與上述乘法形成一個 <math>R</math>-[[交換環上的代數|代數]]。乘法單位元素為 <math>1 := e_e</math>。

最常用的是 <math>R = \Z</math> 或 <math>R = \mathbb{C}</math> 的群環。對於後者，<math>\mathbb{C}[G]</math> 成為 <math>G</math> 的[[表示理論|表示]]：<math>s \sum a_g e_g = \sum a_g e_{sg}</math>；若 <math>G</math> 為[[有限群]]，則稱此表示為[[正則表示]]。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。

對於無窮階的群 <math>G</math>，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊[[拓撲群]]，通常採用 <math>C_c(G)</math> 或 <math>L^1(G)</math> 對[[摺積]]構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。

== 定義 ==

== 例子 ==
令 <math>G = C_3</math> ，即[[階_(群論)|階]]為 <math>3</math> 的[[循環群]]，其中 <math>a</math> 為群的一個[[群的生成集合|生成元]]， <math>1_G</math> 為其[[單位元]]。群環 <math>\mathbb{C}[G]</math> 中的元素 <math>r</math> 可以表示成
: <math>z_0 1_G + z_1 a + z_2 a^2</math> 
其中 <math>z_0</math> ，<math>z_1</math> 以及 <math>z_2</math> 皆為 <math>\mathbb{C}</math> 中的元素，即[[複數]]。

對群環中其他的元素 <math>s = w_0 1_G + w_1 a + w_2 a^2</math> ，我們可以定義群環的加法
: <math>r + s = (z_0 + w_0) 1_G + (z_1 + w_1) a + (z_2 + w_2) a^2</math>
以及乘法
: <math>rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G + (z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2) a + (z_0w_2 + z_1w_1 + z_2w_0) a^2</math>

== 基本性質 ==

==文獻==
* {{springer|id=G/g045220|title=Group algebra|author=A. A. Bovdi}}
* C.W. Curtis, I. Reiner,   ''Representation theory of finite groups and associative algebras'', Interscience  (1962)
* D.S. Passman, ''The algebraic structure of group rings'', Wiley  (1977)

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[[Category:群論|Q]]