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{{Groups}}

==定義==
在[[代數幾何]]中，一個概形<math>S</math>上的'''群概形'''<math>G</math>是範疇<math>\mathrm{Sch}_S</math>中的[[群對象]]。藉由米田信夫引理，我們可以給出兩種刻劃：

*'''以乘法、單位元與逆元定義'''：存在<math>\mathrm{Sch}_S</math>中的態射
** 乘法：<math>m: G \times_S G \rightarrow G</math>
** 單位元：<math>e: S \rightarrow G</math>
** 逆元：<math>i: G \rightarrow G</math>
並滿足結合律等等群的性質。

*'''以函子性定義'''：點函子<math>h_G: \mathrm{Sch}_S \rightarrow \mathrm{Set}</math>透過遺忘函子<math>\mathrm{Group} \rightarrow \mathrm{Set}</math>分解。。

換言之：對於任意的<math>S</math>-概形<math>T</math>，<math>G(T)</math>構成一個群；而且對任意<math>S</math>-態射<math>T' \rightarrow T</math>，誘導映射<math>G(T) \rightarrow G(T')</math>都是群同態。

*'''代數群'''：設<math>k</math>為域，<math>\mathrm{Spec}(k)</math>上的連通、光滑群概形稱作<math>k</math>上的代數群。

*'''李代數'''：群概形<math>G</math>自然地作用在它的全體向量場上。<math>G</math>的全體左不變向量場稱作<math>G</math>的李代數，記為<math>\mathrm{Lie}(G)</math>；它是<math>S</math>上的層。

==例子==
* [[交換環譜]]<math>\mathrm{Spec}(A)</math>的群概形結構一一對應到<math>A</math>的'''Hopf代數'''結構。
* '''阿貝爾簇'''：即一個域<math>k</math>上的真（proper）代數群，它們必然是可交換的。
* '''線性代數群'''：即<math>GL(n)</math>中的閉子群。仿射代數群都是線性代數群，它們在[[表示 (群)|表示理論]]及[[數論]]中佔有根本地位。'''Chevalley定理'''斷言：若<math>k</math>代數封閉，則對所有代數群<math>G</math>都存在短正合列<math>1 \rightarrow H \rightarrow G \rightarrow A \rightarrow 1</math>，其中<math>H</math>是線性代數群而<math>A</math>是阿貝爾簇。在此意義下，所有代數群都是由阿貝爾簇與線性代數群建構而來。
* 設<math>\mathrm{char}(k)=p>0</math>，並考慮<math>k[T]/T^{p^r}, k[T,T^{-1}]/(T^{p^r}-1)</math>的譜。這些群在拓樸上只有一個點，但其結構層帶有[[冪零]]元素。這些子群在代數群的研究中相當常見，同時也是理解<math>\mathrm{char}(k) > 0</math>時的代數群之重要關鍵。

==文獻==
* A. Borel, ''Linear Algebraic Groups'' 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.
* M. Demazure et P. Gabriel, ''Groupes algébriques: Tome I''（1970）, PA Masson
* D. Mumford, ''Abelian Varieties''（1970）, Oxford Univ. Press

{{algebra-stub}}
[[Category:代數幾何|Q]]
[[Category:代數群|Q]]