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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代數]]中，設 <math>Q</math> 為[[群]]，若存在群 <math>G, N</math>，及群的[[正合序列]]
: <math>1 \to N \stackrel{i}{\to} G \stackrel{p}{\to} Q \to 1</math>
（換言之，<math>i</math> 是單射、<math>p</math> 是滿射，且 <math>\mathrm{Ker}(p)=\mathrm{Im}(i)</math>；是故可視 <math>N</math> 為 <math>G</math> 的[[正規子群]]，<math> G/N \simeq Q</math>。）則稱群 <math>G</math> 為 <math>Q</math> 的'''群擴張'''，或稱 <math>Q</math> 對 <math>N</math> 的扩张。

由[[短正合序列]]的同構關係，可以定義群擴張的'''等價類'''。若某個群擴張等價於
: <math>1 \to N \to N \times Q \to Q \to 1</math>
則稱此擴張為'''平凡擴張'''。當 <math>N</math> 落在 <math>G</math> 的[[中心 (群論)|中心]]時，稱之為'''中心擴張'''。

==分類==
一般的群擴張不易分類。若限定 <math>G</math> 為阿貝爾群，則 <math>Q</math> 對 <math>N</math> 的擴張等價類一一對應於 <math>\mathrm{Ext}^1_\Z(Q,N)</math>（參見條目 [[Ext函子]]）。

另一方面，若在群擴張 <math>0 \to A \to E \to G \to 1</math> 中，<math>A</math> 為阿貝爾群，可任取一截面 <math>s: G \to E</math>（s 不一定是群同態），群 <math>G</math> 以共軛方式 <math>a \mapsto s(g)as(g)^{-1}</math> 在 <math>A</math> 上作用。這類擴張的等價類由[[群上同調]] <math>H^2(G,A)</math> 分類，並具有自然的群結構。最常見的例子是中心擴張。

==李代數的擴張==
利用同樣作法，也可以定義[[李代數]]的擴張。此即李代數的正合序列
: <math>0 \to \mathfrak{a} \to \mathfrak{e} \to \mathfrak{g} \to 0</math>
若 <math>[\mathfrak{a}, \mathfrak{e}]=0</math>，稱之為中心擴張。

==參考資料==
* {{springer|id=E/e036980|title=Extension of a group|author=V.E. Govorov}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群論|Q]]