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在[[數學]]，若''S''和''T''為[[群]]''G''的子集，則其乘積為''G''的子集，其定義為
:<math>ST = \{st : s \in S \mbox{ and } t\in T\}</math>
其中，''S''和''T''不必然需要是[[子群]]。其乘積的[[結合律]]源自群的結合律。因此，群子集的乘積定義出了一個於''G''[[冪集]]上的自然[[么半群]]結構。

即使''S''和''T''為''G''的子群，其乘積也不必然會是個子群。其乘積為子群若且唯若''ST'' = ''TS''。在這一情形之下，''ST''會是個由''S''和''T''[[群的生成集合|生成]]出的群，即''ST'' = ''TS'' = <''S'' &cup; ''T''>。若''S''或''T''有一是''G''的[[正規子群]]，上述情形便會滿足，''ST''會是個子群。設''S''是正規子群，則根據[[同構基本定理|第二同構定理]]，''S'' &cap; ''T''是''T''的正規子群且''ST''/''S'' 同構于 ''T''/(''S'' &cap; ''T'')。

若''G''為一有限群，且''S''和''T''為''G''的子群，則''ST''的元素個數可由''乘積公式''給定：
:<math>|ST| = \frac{|S||T|}{|S\cap T|}</math>
即使''S''和''T''都不是正規子群，上述公式也一樣適用。

特别地，如果''S''和''T''的交集仅为单位元，那么''ST''的每一个元素都可以唯一地表示为乘积''st''，其中''s''位于''S''内，''t''位于''T''内。如果
''S''和''T''还是可交换的，那么''ST''就是一个群，称为[[扎帕-塞普乘积]]。更进一步，如果''S''或''T''在''ST''中正规，那么''ST''便称为[[半直积]]。最后，如果''S''和''T''都在''ST''中正规，那么''ST''便称为[[直积]]。

==引用==

*{{cite book
 | first      = Joseph
 | last       = Rotman
 | year       = 1995
 | title      = An Introduction to the Theory of Groups
 | edition    = (4th ed.)
 | publisher  = Springer-Verlag
 | isbn         = 0-387-94285-8
}}

==另見==

*[[直積]]
*[[準直積]]

[[Category:群论|Q]]
[[Category:二元運算|Q]]