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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代數]]中，'''群同構'''（{{lang-en|group isomorphism}}）是在兩個群之間的[[函數]]，它在維持群運算的方式架設了在群的元素之間的[[一一對應]]。如果兩個群之間存在一個群同構，則稱這兩個群'''[[同構]]'''。從群論的立場看，同構的群具有相同的結構和性質，因而不需要區分。

== 定義和符號==

給定兩個[[群]] <math>(G, *)</math> 和 <math>(H, \odot)</math> ，從 <math>(G, *)</math> 到 <math>(H, \odot)</math> 的'''群同構'''是從 <math>G</math> 到 <math>H</math> 的'''[[雙射]]'''[[群同態]]。這意味著群同構是雙射函數 <math>f : G \rightarrow H</math> 使得對於所有 <math>G</math> 中的元素 <math>u</math> 和 <math>v</math> 有著
: <math> f(u * v) = f(u) \odot f(v)</math>。

如果群 <math>(G, *)</math> 和 <math>(H, \odot)</math> 之間存在一個群同構，則這兩個群同構，記作
: <math>(G, *) \cong (H, \odot)</math>  <!-- the Unicode symbol ≅ is not visible with all browsers and browser settings -->

如果群運算沒有歧義，可以將其省略，簡寫為
: <math>G \cong H</math>

有時甚至簡寫為 <math>G = H</math> 。這種表示是否引起歧義或混淆將依賴於上下文。例如同一個群中兩個同構的[[子群]]並不一定有相同的性質。參見后面的例子。

反過來說，給定群 <math>(G, *)</math> 、集合 <math>H</math> 和[[雙射]] <math>f : G \rightarrow H</math>，我們可以通過定義 <math>f(u) \odot f(v) = f(u * v)</math> 構造一個群 <math>(H, \odot)</math>。

如果 <math>H = G</math> 并且 <math>\odot = *</math> 則上述的群同構作用在 <math>G</math> 自身，稱為 <math>G</math> 的'''自同構'''。

== 例子 ==

* [[實數]]集帶有加法的群 <math>(\mathbb{R} ,+)</math> 同構於正實數集帶有乘法的群 <math>(\mathbb{R} ,\times)</math>:
: <math>(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \times)</math>

通過同構
: <math>f(x) = e^x \,</math>
(參見[[指數函數]])。

* [[整數]]集帶有加法的群 <math>\mathbb{Z}</math> 是 <math>\mathbb{R}</math> 的[[子群]]，而[[因子群]] <math>\mathbb{R}</math>/<math>\mathbb{Z}</math> 同構於[[絕對值]]為 1 的[[复数 (数学)|複數]]組成的乘法群 <math>S^1</math>:
: <math>\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1</math>
同構給出為
: <math>f(x + \mathbb{Z}) = e^{2 \pi xi}</math>
對于所有<math> x \in \mathbb{R}</math>。

* [[克萊因四元群]]同構於 <math>\mathbb{Z}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> 的兩個復本的[[直積]](參見[[模算術]])，并因此寫為 <math>\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2</math>。另一個符號是 Dih<sub>2</sub>，因為它是[[二面體群]]。

* 如果 (''G'', *) 是[[無限循環群]]，則 (''G'', *) 同構於整數集帶有加法的群。從代數的觀點看，這意味著所有整數的集合帶有加法運算是唯一的無限循環群。

某些群可以依賴於[[選擇公理]]證明是同構的，但在理論上不能構造出具體的同構。比如:
* 群 (<math>\mathbb{R}</math>, +) 同構於所有[[复数 (数学)|複數]]組成的加法群 (<math>\mathbb{C}</math>, +)。
* 非零複數集帶有乘法的群 (<math>\mathbb{C}</math><sup>*</sup>, ·) 同構於上面提及的群 ''S''<sup>1</sup>。

==性質==

* 從 (''G'', *) 到 (''H'', <math>\odot</math>) 的同構的[[核 (代數)|核]]總是 {e<sub>G</sub>} 這里的 e<sub>G</sub> 是群 (''G'', *) 的單位元。 

* 如果 (''G'', *) 同構於 (''H'',<math>\odot</math>)，并且如果 ''G'' 是[[阿貝爾群]]則 ''H'' 也是。 

* 如果 (''G'', *) 是同構於 (''H'', <math>\odot</math>) 的有限群，這里 ''f'' 是同構，則如果 ''a'' 屬于 ''G'' 并有[[階 (群論)|階]] ''n''，則 ''f(a)'' 也是。

* 如果 (''G'', *) 是同構於 (''H'', <math>\odot</math>) 的[[局部有限群]]，則 (''H'', <math>\odot</math>) 也是局部有限群。

* 前面的例子展示了同構總是保持“群性質”。

== 推論 ==

從定義可以得出任何同構 <math>f : G \rightarrow H</math> 將映射 <var>G</var> 的單位元到 <var>H</var> 的單位元， 
: <math>f(e_G) = e_H</math>
并且映射逆元到逆元，
: <math>f(u^{-1}) = \left[ f(u) \right]^{-1}</math>
和更一般的，''n'' 次冪到 ''n'' 次冪
: <math>f(u^n)= \left[ f(u) \right]^n </math>
對於所有 <var>u</var> ∈ <var>G</var>，并且逆映射 <math>f^{-1} : H \rightarrow G</math> 也是群同構。

“同構”關係滿足[[等價關係]]的所有公理。如果 <var>f</var> 是在兩個群 <var>G</var> 和 <var>H</var> 之間的同構，則關於 <var>G</var> 的只與群結構有關的所有為真的事情都可以通過 <var>f</var> 轉換成關於 <var>H</var> 的同樣為真的陳述，反之亦然。

== 自同構 ==

從群 (<var>G</var>,*) 到自身的同構叫做這個群的[[自同構]]。就是說這是雙射 <math>f : G \rightarrow G</math> 使得
: <math>f(u) * f(v) = f(u * v)</math>。

自同構總是映射單位元到自身。[[共軛類]]在自同構下的像總是共軛類(同一個或另一個)。一個元素的像有同這個元素相同的階。

兩個自同構的復合也是自同構，并且群 <var>G</var> 的所有自同構的集合在復合運算下自身形成了一個群，即 <var>G</var> 的'''自同構群'''，指示為 Aut(<var>G</var>)。

對于所有[[阿貝爾群]]，至少有把群的元素替換為它的逆元的自同構。但是，在所有元素都等於它的逆元的群中這是一個平凡自同構，比如在[[克萊因四元群]]中。對於這種群三個非單位元素的所有置換都是自同構，所以這個自同構群同構於 <var>S</var><sub>3</sub> 和 Dih<sub>3</sub>。

在對於素數 <var>p</var> 的 Z<sub><var>p</var></sub> 中，一個非單位元元素可以被替換為另一個，帶有在其他元素中的相應變更。這個自同構群同構於 Z<sub><var>p</var> &minus; 1</sub>。例如，對于 <var>n</var> = 7，Z<sub>7</sub> 的所有元素乘以 3 再模以 7，是在這個自同構群中的一個 6 階自同構，因為 3<sup>6</sup> = 1 ( modulo 7 )，而更低的冪不得出 1。因為這個自同構生成了 Z<sub>6</sub>。這里還有一個自同構有這個性質: Z<sub>7</sub> 的所有元素乘以 5 再模以 7。因此這兩個對應於 Z<sub>6</sub> 的元素 1 和 5，以這個次序或反過來。

Z<sub>6</sub> 的自同構群同構於 Z<sub>2</sub>，因為只有兩個元素 1 和 5 的每一個能生成 Z<sub>6</sub>，所以除了單位元之外我們只能互換它們。

Z<sub>2</sub> &times; Z<sub>2</sub> &times; Z<sub>2</sub> = Dih<sub>2</sub> &times; Z<sub>2</sub> 的自同構群有階 168，這可以如下這樣找到。所有 2<sup>3</sup> - 1 = 7 個非單位元元素扮演相同的角色，所以我們可以選擇讓誰扮演 (1,0,0) 的角色。余下的 2<sup>3</sup> -  2<sup>1</sup> = 6 中的任何一個都可以被選擇來扮演 (0,1,0) 的角色。這確定了誰對應於 (1,1,0)。對 (0,0,1) 我們可以有 2<sup>3</sup> -  2<sup>2</sup> = 4 個選擇，這就確定了余下的。因此我們有了 7 &times; 6 &times; 4 = 168 個自同構。它們對應於[[Fano平面]]的成員，它的 7 個點對應於 7 個非單位元元素。連接三個點的線對應於群運算: a, b 和 c 在一條線上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。參見[[一般線性群#在有限域上|在有限域上的一般線性群]]。

對於阿貝爾群除了平凡的之外的所有自同構叫做[[外自同構]]。

非阿貝爾群有非平凡的[[內自同構]]群，并可能也有外自同構。

==參見==
*[[同構基本定理]]

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群論]]
[[Category:态射]]