查看“︁群作用”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}

[[File:Group action on equilateral triangle.svg|right|thumb|給定一個[[等邊三角形]]，通過把所有[[頂點 (幾何)|頂點]]映射到另一個頂點，繞三角形中心逆時針 120°[[旋轉]]“作用”在這個三角形的頂點的集合上。]]

[[数学]]上，[[空間對稱群|对称群]]描述物体的所有[[對稱|对称性]]。这是通过'''群作用'''的概念来形式化的：[[群]]的每个元素作为一个[[双射]]（或者对称作用）作用在某个[[集合 (數學)|集合]]上。在这个情况下，群称为'''置换群'''（特别是在群有限或者不是[[线性空间]]时）或者'''变换群'''（特别是当这个集合是线性空间而群作为'''线性变换'''作用在集合上时）。一个群''G''的置换表示是群作为一个集合的[[置换]]群的[[群表示]]（通常该集合有限），并且可以表述为[[置换矩阵]]，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的[[线性空间基]]上是一样的。

== 定义 ==
令 <math>G</math> 为一个[[群]]， <math>X</math> 为一个[[集合 (數學)|集合]]， <math>G</math> 在 <math>X</math> 上的一个(左) '''群作用''' <math>\alpha</math> 是一个二元[[函数]]
:<math>\alpha : G \times X \rightarrow X</math>

該函數满足如下两条公理：
# 对所有 <math>g, h \in G</math> 以及 <math>x \in X</math> ，<math>\alpha(g h, x) = \alpha(g, \alpha(h, x))</math>。
# 对每个 <math>x \in X</math> ，有 <math>\alpha(e, x) = x</math> ( <math>e</math> 為群 <math>G</math> 的[[單位元]])。

一般稱群 <math>G</math> （在左邊）作用於集合 <math>X</math> 上，或稱 <math>X</math> 是一个 '''<math>G</math>-集合'''。

為簡化在群作用 <math>\alpha</math> 上使用的符號，我們可以將其[[柯里化]]：令 <math>\alpha_g : X \rightarrow X</math> 為由單個元素 <math>g</math> 給出的映射 <math>x \mapsto \alpha(g, x)</math> ，這樣可以通過考慮函數集 <math>\{\alpha_g \mid g \in G\}</math> 來研究群作用。上述兩條公理可以寫作
# <math>\alpha_e(x) = x</math>
# <math>\alpha_g(\alpha_h(x)) = (\alpha_g \circ \alpha_h)(x) = \alpha_{gh}(x)</math>
其中 <math>\alpha_g \circ \alpha_h</math> 表示兩函數的[[函數複合|複合]]。所以第二條公理說明函數的複合可以與群運算互相對應，它們可以組成一個[[交換圖表]]。該公理甚至可以簡寫為 <math>\alpha_g \circ \alpha_h = \alpha_{gh}</math> 。

<math>\alpha(g, x)</math> 一般簡寫為 <math>g \cdot x</math> 或 <math>gx</math> 。

由上述两条公理可知，對固定的元素 <math>g \in G</math> ，从<math>X</math>映射到<math>X</math><math>x \mapsto g \cdot x</math> 是一个[[双射]]（單射和滿射的條件可以分別通過考慮 <math> g^{-1} </math> 和 <math>e</math> 給出）。因此，也可以将 <math>G</math> 在 <math>X</math> 上的群作用定义为从 <math>G</math> 到[[对称群]]上<math>S_{X}</math> 的[[群同态]]。

=== 右群作用 ===

我們可以類似地定义一个 <math>G</math> 在 <math>X</math> 上的'''右群作用'''为函数<math>X \times G \rightarrow X</math>，满足以下公理：
# <math>x \cdot (g h) = (x \cdot g) \cdot h</math>
# <math>x \cdot e = x</math>
注意左和右作用的区别仅在于像 <math>gh</math> 这样的积在 <math>x</math> 上作用的次序。左群作用中， <math>h</math> 先作用，然后才到 <math>g</math> ，而对于右作用 <math>g</math> 先作用，然后才到 <math>h</math> 。右作用與群上的逆操作复合可以构造出一個左作用。如果 <math>r</math> 为一右作用，则
:<math>l : G \times M \to M : (g, m) \mapsto r(m, g^{-1})</math>
是一左作用，因为
:<math>l(gh, m) = r(m, (gh)^{-1}) = r(m, h^{-1}g^{-1}) = r(r(m, h^{-1}), g^{-1}) = r(l(h, m), g^{-1}) = l(g, l(h, m))\,</math>
而
:<math>l(e, m) = r(m, e^{-1}) = r(m, e) = m\,</math>
所以我们可以不失一般性地考虑左群作用。

==群作用的种类 ==
群G作用在集合X上的作用稱為:<ref>{{Cite book|title=Abstract Algebra: Structures and Applications|last=Lovett|first=Stephen|publisher=CRC|year=2015|isbn=1482248905|location=|pages=}}</ref>

;遞移性(Transitive):如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y <math>\in</math> X，則存在一個g<math>\in</math>G，使得<math>g \cdot x = y </math>，我們就稱此作用為'''遞移性'''。
;忠實性(Faithful):如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為'''忠實的'''。換言之，就是群G到X的置換群之中為單射。
;自由性(Free):如果給定 <math>g, h\in G</math>，存在<math>x \in X</math>，則有著<math>g {\cdot}x=h{\cdot}x {\;\;}{\Rightarrow}\;\;\; g=h</math>，則稱為此作用為自由性。
;正則的(Regular):同時具有自由性以及遞移性的作用稱為'''正則的'''，又稱'''簡單遞移'''（{{lang-en|simply transitive}}）。
;n-遞移性(n-transitive):如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'' 和所有不同的''y''<sub>1</sub>, ..., ''y<sub>n</sub>'', 存在一個 g 在群G 使得  ''g''⋅''x<sub>k</sub>'' = ''y<sub>k</sub>''  對所有 1 ≤ ''k'' ≤ ''n'' ，我們就稱其為'''n-遞移性'''。
;本原的(Primitive):如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明'''''n-遞移性'''''皆為本原的。

== 軌道與穩定化子 ==
=== 軌道 ===

令群 <math>G</math> 作用在集合 <math>X</math> 上，對 <math>X</math> 中的元素 <math>x</math> ， <math>x</math> 在 <math>G</math> 上的'''軌道'''是 <math>X</math> 的子集，定義為

: <math>\{g \cdot x \mid g \in G\}</math>

記作 <math>G \cdot x</math> 或 <math>Gx</math> 。

集合 <math>X</math> 的兩個軌道要麼相等，要麼完全不相交，因此軌道是集合的一個[[集合劃分|劃分]]。如果兩個軌道 <math>G \cdot x</math> 和 <math>G \cdot y</math> 存在公共元素 <math>a</math> ，那麼存在兩個 <math>G</math> 中的元素 <math>m</math> 和 <math>n</math> ，使得 <math>a = m \cdot x \in G \cdot x</math> ， <math>a = n \cdot y \in G \cdot y</math> 。因而 <math>x = m^{-1} \cdot a = m^{-1}n \cdot y \in G \cdot y</math> ，反之亦可推出 <math>y = n^{-1} \cdot a = n^{-1}m \cdot x \in G \cdot x</math> ，所以兩個集合相等。

軌道的一個例子是[[陪集]]，假若 <math>H</math> 是 
<math>G</math> 的一個子集，且定義 <math>G</math> 中元素的慣常運算規則為 <math>H</math> 在<math>G</math> 上的一個作用，那麼 <math>H</math> 的陪集 <math>aH</math> (<math>a \in G</math>)就是 <math>a</math> 的軌道。

=== 不變子集 ===

令 <math>S</math> 為 <math>X</math> 的一個子集，群 <math>G</math> 作用在 <math>X</math> 上，對於群 <math>G</math> 中的所有元素 <math>g</math> ，以及所有 <math>S</math> 中的元素 <math>s</math> ，有 <math>g \cdot s \in S </math>，則我們會說 <math>S</math> 在 <math>G</math> 的作用下是封閉的。

若<math>x</math>是<math>\mathrm{X}</math>的一個元素，對於群<math>\mathrm{G}</math>中的所有元素<math>g</math>而言，都有<math>g \cdot x = x</math>，那麼就稱<math>x</math>是<math>\mathrm{G}</math>-不變的（<math>\mathrm{G}</math>-invariant）。

=== 不動點與穩定子群 ===

令 <math>g \in G</math> 和 <math>x \in X</math> ，如果 <math>g \cdot x = x</math> ，則 <math>x</math> 是關於 <math>g</math> 的一個'''不動點'''。

對 <math>X</math> 的元素 <math>x</math> ，所有令 <math>g \cdot x = x</math> 的  <math>G</math> 中的元素 <math>g</math> 構成的集合稱為 <math>G</math> 關於 <math>x</math> 的'''穩定子群'''，記作 <math>G_x</math> 或 <math>Stab_G(x)</math> 。

: <math>G_x = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}</math> 。

<math>G_x</math>是<math>\mathrm{G}</math>的一個子群，因為根據定義<math>e \cdot x = x \in G_x</math>，因此 <math>G</math> 的單位元 <math>e</math> 在 <math>G_x</math> 中。如果 <math>m \in G_x</math> ，那麼<math>m</math>的逆元<math>m^{-1}</math>也是<math>\mathrm{Gx}</math>的元素，因為<math>x = e \cdot x = m^{-1}m \cdot x = m^{-1} \cdot x</math>。

=== 軌道－穩定點定理 ===

軌道與穩定子群緊密相關。令群 <math>G</math> 作用在 <math>X</math> 上，令 <math>X</math> 中的 <math>x</math> ，考慮映射 <math>f : G \rightarrow X</math> ， <math>g \mapsto g \cdot x</math> 。該映射的[[值域]]等於軌道 <math>G \cdot x</math> 。 <math>G</math> 中的兩元素 <math>g</math> 和 <math>h</math> 的像 <math>f(g)</math> 和 <math>f(h)</math> 相同的條件是

: <math>f(g) = f(h) \iff g \cdot x = h \cdot x \iff g^{-1} h \cdot x = x \iff g^{-1} h \in G \cdot x \iff h \in g G \cdot x</math> 。

換言之， <math>f(g) = f(h)</math> 當且僅當 <math>g</math> 和 <math>h</math> 在穩定子群 <math>G_x</math> 的同一個[[陪集]]中。所以所有在軌道 <math>G \cdot x</math> 中的元素 <math>y</math> 的[[原像]]都包含於某個陪集中，每個陪集的像亦為 <math>X</math> 的一個[[單元素集合]]。因此 <math>f</math> 事實上是 <math>G_x</math> 的所有陪集與 <math>X</math> 的元素的[[一一對應]]， <math>f:  G / G_x \rightarrow X</math> 是一個[[雙射函數]]。

這個結論稱為'''軌道-穩定點定理'''，有

: <math>|G\cdot x|=[G:G_x] </math>

=== 伯恩賽德引理 ===
{{also|伯恩賽德引理}}

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是[[伯恩賽德引理]]

: <math>|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |X^g| </math>

其中 <math>X^g</math> 是 <math>X</math> 關於 <math>g</math> 的穩定子群。 <math>G</math> 和 <math>X</math> 都有限時該引理尤其重要，可以被詮釋為「群作用的軌道數等於平均每個群元素的不動點的個數」。

== 西羅定理 ==
{{main|西羅定理}}

== 範例==

* 任意群''G''在任意集合''X''上的''{{visible anchor|平凡的}}''群作用定义为 {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}} 对任意''g''属于''G''以及任意''x''属于''X''；换句话说，每个群元素对应 ''X''上的[[恒等函数|恒等置换]]。<ref>{{cite book|author=Eie & Chang |title=A Course on Abstract Algebra|year=2010|url={{Google books|plainurl=y|id=jozIZ0qrkk8C|page=144|text=trivial action}}|page=145}}</ref>

== 参考资料 ==
{{reflist}}

<br />{{ModernAlgebra}}

[[Category:置换群|Q]]
[[Category:群作用|Q]]
<references group="Abstract Algebra: Structures and Applications" responsive="" />