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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''羅森布羅克系統矩陣'''（{{lang-en|Rosenbrock system matrix}}）是在應用數學中，針對線性時不變系統的矩陣，可以將[[状态空间]]轉換為[[傳遞函數矩陣]]。此矩陣是英國控制學家[[霍華德·哈里·羅森布羅克]]在1967年所提出<ref>{{cite journal|last1=Rosenbrock|first1=H. H.|title=Transformation of linear constant system equations|journal=Proc. IEE|date=1967|volume=114|pages=541–544}}</ref>。

== 定義 ==

考慮以下的線性時不變系統
:: <math>\dot{x}= Ax +Bu,</math>
:: <math>y= Cx +Du.</math>
其羅森布羅克矩陣為 
::<math>P(s)=\begin{pmatrix}
sI-A & -B\\
C  & D
\end{pmatrix}.</math>
此為多項式形式（polynomial form）的羅森布羅克矩陣
在羅森布羅克原始研究中，允許常數矩陣<math>D</math>是<math>s</math>的多項式。

輸入<math>i</math>及輸出<math>j</math>的轉換函數為 
::<math>g_{ij}=\frac{\begin{vmatrix}
sI-A & -b_i\\
c_j  & d_{ij}
\end{vmatrix}}{|sI-A|}</math>
其中<math>b_i</math>為矩陣<math>B</math>的第<math>i</math>個-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column），而<math>c_j</math>是矩陣 <math>C</math>的第<math>j</math>-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-（row）。

羅森布羅克就是以此表示方式推導其定義版本的Popov–Hautus–Belevitch測試，也就是[[Hautus引理]]，是有關[[可控制性]]的測試。

==短形式==

為了計算的考量，有時需要較短形式的羅森布羅克系統矩陣<ref>{{cite book|last1=Rosenbrock|first1=H. H.|title=State-Space and Multivariable Theory|date=1970|publisher=Nelson}}</ref>，表示如下
::<math>P\sim\begin{pmatrix}
A & B\\
C  & D
\end{pmatrix}.</math>

此為狀態空間形式（state-space form）的羅森布羅克矩陣。

短形式的羅森布羅克系統矩陣廣為在[[H-infinity控制]]中使用，也稱為packed form，例如MATLAB的指令'''pck'''<ref>{{cite web|title=Mu Analysis and Synthesis Toolbox|url=http://radio.feld.cvut.cz/matlab/toolbox/mutools/pck.html|accessdate=25 August 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20181001114330/http://radio.feld.cvut.cz/matlab/toolbox/mutools/pck.html|archive-date=2018-10-01|dead-url=yes}}</ref>。羅森布羅克系統矩陣在線性分數階轉換的含義可以參閲<ref>{{cite book|last1=Zhou|first1=Kemin|last2=Doyle|first2=John C.|last3=Glover|first3=Keith|title=Robust and Optimal Control|date=1995|publisher=Prentice Hall}}</ref>。

羅森布羅克系統矩陣的第一個應用是發展[[卡爾曼分解]]<!--which is based on the pivot element method-->的快速計算方式。在Matlab及[[GNU Octave]]中的'''minreal'''指令用到了羅森布羅克方式的變體<ref>{{cite journal|last1=De Schutter|first1=B.|title=Minimal state-space realization in linear system theory: an overview|journal=Journal of Computational and Applied Mathematics|date=2000|volume=121|issue=1-2|pages=331–354|doi=10.1016/S0377-0427(00)00341-1}}</ref>。

==參考資料==
{{Reflist}}
[[Category:1967年面世]]
[[Category:控制理论]]
[[Category:矩陣]]