查看“︁置换群”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{群}}
[[数学]]中，對一個给定的[[集合_(數學)|集合]]<math>M</math>，所有由<math>M</math>到自身的[[對射|可逆映射]]构成的集合关于[[复合函数|映射的合成]]构成一个[[群]]，称为<math>M</math>的[[对称群 (n次对称群)|对称群]]，记为<math>S_M</math>。<math>S_M</math>的任一[[子群]]称为<math>M</math>上的'''置换群'''（{{lang-en | permutation group}}）。

如果<math>M</math>是包含<math>n</math>个元素的有限集，称其到自身的可逆映射为<math>n</math>阶[[置换]]，其对称群<math>S_M</math>称为<math>n</math>阶对称群，记为<math>S_n</math>。<math>S_n</math>的任一[[子群]]亦为置换群。<ref>{{Cite book|title=近世代数（第二版）|author = 韩士安，林磊|publisher=科学出版社|year=2009|isbn=9787030250612|location=北京|pages=44}}</ref>

置换群到被置换的元素的应用称为[[群作用]]；它在对称性和[[组合论]]以及数学的其他很多分支中有应用，也是研究[[晶体结构]]等所不可或缺的工具。


==定義及基本性質==
置換群皆為某個對稱群的[[子群]]，它的所有元素都是一集合的[[置換]]。因而它的元素所構成的集合是所對應的對稱群中關於[[复合函数|映射的合成]]以及在到[[反元素]]的映射下[[閉包 (數學)|封閉]]的一個[[子集]]，它亦需要包含該集合的[[恆等函數]]作為其[[單位元]]。

==例子==

置换通常写作轮换形式，例如，在[[轮换指标]]计算中，给定集合<math> M = \{1,2,3,4\} </math>，<math> M </math>的一个置换<math> g </math>若为<math> g(1) = 2, g(2) = 4, g(4) = 1 </math>和<math> g(3) = 3 </math>，可以写作<math> (1,2,4)(3) </math>，或者更常见的写作<math> (1,2,4) </math>，因为<math> 3 </math>保持不变；若对象有单个字母或数字表示，逗号也被省去，所以可以记作<math> (1\ 2\ 4) </math>。

==常见的置换群==
===<math> M = \{1,2\} </math>===
<math> g_1 = (1), g_2 = (1\ 2) </math>
===<math> M = \{1,2,3\} </math>===
<math> (1),(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2) </math>
===<math> M = \{1,2,3,4\} </math>===
<math> (1), </math>
<math> (1\ 2),(1\ 3),(1\ 4),(2\ 3),(2\ 4),(3\ 4), </math>
<math> (1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2\ 4),(1\ 4\ 2),(1\ 3\ 4),(1\ 4\ 3),(2\ 3\ 4),(2\ 4\ 3), </math>
<math> (1\ 2\ 3\ 4),(1\ 2\ 4\ 3),(1\ 3\ 2\ 4),(1\ 3\ 4\ 2),(1\ 4\ 2\ 3),(1\ 4\ 3\ 2),(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3) </math>

== 参看 ==

*[[群作用]]
*[[本原群]]
*[[置换]]
*[[轮换]]
*[[交错群]]

== 参考==

* John D. Dixon and Brian Mortimer. ''Permutation Groups''. Number 163 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1996.
* Akos Seress. ''Permutation group algorithms''. Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
* Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller and Peter M. Neumann. ''Notes on Infinite Permutation Groups''. Number 1698 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
* Alexander Hulpke. GAP Data Library [http://www.gap-system.org/Datalib/trans.html "Transitive Permutation Groups"] {{Wayback|url=http://www.gap-system.org/Datalib/trans.html |date=20210119030637 }}.

[[Category:置换群| ]]
[[Category:有限群|Z]]