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'''罗素悖论'''（{{lang-en|Russell's paradox}}），是[[英國]]哲學家[[伯特兰·罗素]]於1901年提出的[[悖论]]，是一个关于[[类 (数学)|类]]的内涵问题。

罗素悖论有一些更为通俗的描述，如[[理发师悖论]]、书目悖论。但[[理髮師悖論]]被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。罗素悖论在类的理论中通过[[内涵公理]]而得到解决。

==定义==
设<math>A = \{ x \mid x \not \in x \}</math>，那么<math>A \in A \Leftrightarrow A \not \in A</math>。

我们通常希望，任给一个性質（例如「年滿三十歲」就是一個性質），满足该性質的所有[[集合 (数学)|集合]]總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。

设有一性質<math> P </math>，並以一性質函数<math>P(x)</math>表示，且其中的自變量<math>x</math>具有特性<math> x \not \in x </math>。现假设由性质<math>P</math>能夠确定一个滿足性質<math> P </math>的集合<math> A </math>——也就是说 
<math> A = \{ x \mid x \not \in x \} </math>。那么，<math> A \in A</math>是否成立？

首先，若<math> A \in A</math>，则<math> A </math>是<math> A </math>的元素，那么<math> A </math>具有性质<math> P </math>，由性質函数<math> P </math>可以得知<math> A \not \in A</math>；

其次，若<math> A \not \in A</math>，根據定義，<math> A </math>是由所有滿足性質<math> P </math>的類組成，也就是说，<math> A </math>具有性质<math>P</math>，所以<math> A \in A</math>。

==通俗诠释==
===理发师悖论===
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===書目悖論===
书目悖论（{{lang-en|Catalogue Paradox}}）是另一种罗素悖论的通俗解释。其内容为，假设有一图书馆编制了一部书目，有且仅有列出那些未列出自身的书目，那么这部书目会列出自身吗？<ref>{{cite book |author1=Curry, H. B |first1=Haskell B. |title=Foundations of mathematical logic |date=1977 |publisher=Dover Publications |location=New York |isbn=9780486634623 |pages=5 |accessdate=2024-06-20}}</ref>

==解决方案==
当一个句子、想法或公式引用自身时，就会出现[[自指]]。直到现在，真正意义上的悖论，其问题几乎都是自指或自相关而引起。<!--悖论“其问题几乎都是自指或自相关而引起”：是非原创总结源于：要点1. 文献 1.1章到1.5章包括了所有自相关的悖论类型，可以由其内容看到。要点2. 见参考文献引用中的两句1.6章的quotes。 进一步表明悖论“其问题几乎都是自指或自相关而引起 （除了涉及无限的句子链Yablo悖论）。--><ref name=SEP_Self-Reference>{{cite web|title= Self-Reference (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition)|url= https://plato.stanford.edu/archives/sum2020/entries/self-reference|author1= Bolander, Thomas|accessdate= 2020-12-28|archive-date= 2021-06-10|archive-url= https://web.archive.org/web/20210610231047/https://plato.stanford.edu/archives/sum2020/entries/self-reference/|dead-url= no|quote="In 1985, Yablo succeeded in constructing a semantic paradox that does not involve self-reference in the strict sense. ... Instead, it consists of an infinite chain of sentences, each sentence expressing the untruth of all the subsequent ones. "}}</ref> 尽管陈述可以是自指并且不自相矛盾（“This statement is written in English”是真实且非自相矛盾的带有自指的陈述），但自指是悖论的一个常见要素。根據[[路德维希·维特根斯坦|路德維希·維根斯坦]]的《[[逻辑哲学论|邏輯哲學論]]》，任何命題不能包含自身，同理一個函數不能包含自身。

罗素悖论中，在逻辑上它们都有无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。因此，罗素提出了{{tsl|en|Vicious_circle_principle|恶性循环原则}}，禁止使用包含被定义对象本身的的集合来定义该对象。<ref name=SEP_Self-Reference/>逻辑系统中，如果要求任何命题不能违反恶性循环原则，则可以避免类似罗素悖论等自指性悖论。

==参考资料==
{{reflist}}

==参见==
*[[自指]]
*[[理发师悖论]]
*[[类的理论]]

{{数理逻辑}}
{{集合论}}
{{悖论}}

[[Category:集合论悖论]]
[[Category:伯特兰·罗素]]