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{{noteTA
|G1=Physics
}}
{{otheruses|other=[[几何学]]中關於向量的旋轉的演算法（Rodrigues' rotation formula）|罗德里格旋转公式}}
'''罗德里格公式'''（{{lang-en|'''Rodrigues' formula'''}}），舊稱為艾沃里–雅可比公式，是一個關於[[勒壤得多項式]]的公式，分別被
{{harvs|txt|authorlink=欧林·罗德里格|first=欧林|last=罗德里格|year=1816}}，{{harvs|txt|authorlink=詹姆斯·艾沃里|first=詹姆斯|last=艾沃里|year=1824}}及{{harvs|txt|authorlink=卡爾·雅可比|first=卡爾|last=雅可比|year=1827}}所獨立發現。在埃爾米特於1865年指出罗德里格是第一個發現的人後，Heine在1878年建議使用「罗德里格公式」此名稱。此名稱亦被用於其它[[正交多项式]]的相似公式中。{{harvtxt|Askey|2005}}詳述了罗德里格公式的歷史。

==敍述==
令<math>\{P_n(x)\}_{n=0}^\infty</math>為一正交多項式序列，並滿足以下條件：
<math display="block">\int_a^b P_m(x) P_n(x) w(x) \, dx = K_n \delta_{m,n},</math>
其中<math>w(x)</math> 為權函數，<math>K_n</math>為與<math>n</math>有關之常數，<math>\delta_{m,n}</math>則是[[克羅內克δ函數]]。如果權函數<math>w(x)</math>滿足以下微分方程（又稱Pearson微分方程）：
<math display="block">\frac{w'(x)}{w(x)} = \frac{A(x)}{B(x)},</math>
其中<math>A(x)</math> 為次數最高為一的多項式，<math>B(x)</math>為次數最高為二的多項式；且以下極限成立：
<math display="block">\lim_{x \to a} w(x) B(x) = 0, \qquad \lim_{x \to b} w(x) B(x) = 0,</math>
那麼我們可以證明<math>P_n(x)</math>滿足以下遞迴關係式
<math display="block">P_n(x) = \frac{c_n}{w(x)} \frac{d^n}{dx^n}\left[ B(x)^n w(x)\right], </math>
其中<math>c_n</math>為常數。此關係式稱為「罗形公式」或是簡稱為「罗德里格公式」<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Rodrigues_formula|title=Rodrigues formula – Encyclopedia of Mathematics|website=www.encyclopediaofmath.org|language=en|access-date=2018-04-18|archive-date=2018-04-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20180418230228/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Rodrigues_formula|dead-url=no}}</ref>

罗形公式最常見的應用為[[勒壤得多項式]]、[[拉蓋爾多項式]]和[[埃爾米特多項式]]。

對[[勒壤得多項式]]<math>P_n</math>，罗德里格描述他的公式如下：
<math display="block">P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[ (x^2 -1)^n \right]. </math>

[[拉蓋爾多項式]]通常被記為''L''<sub>0</sub>,&nbsp;''L''<sub>1</sub>,&nbsp;⋯⋯，其罗形公式可被寫為：
<math display="block">L_n(x) = \frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right) = \frac{1}{n!} \left( \frac{d}{dx} -1 \right) ^n x^n,</math>

[[埃爾米特多項式]]的罗德里格公式則為：
<math display="block">H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=\left (2x-\frac{d}{dx} \right )^n \cdot 1 .</math>

其他從[[史特姆-萊歐維爾理論|史特姆-萊歐維爾方程]]所得之正交函數序列也有類似的公式，這些公式也被稱為罗德里格公式（或是罗形公式），特別是所得函數為多項式時。
==參考資料==
{{Reflist}}

*{{Citation | last1=Askey | first1=Richard |authorlink=Richard Askey| editor1-last=Altmann | editor1-first=Simón L. | editor2-last=Ortiz | editor2-first=Eduardo L. | title=Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times | chapter-url=https://books.google.com/books?id=oTyJYUx8Jr4C&pg=PA105 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series= History of mathematics | isbn=978-0-8218-3860-0 | year=2005 | volume=28 | chapter=The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments | pages=105–118}}
*{{citation | title = On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis | last=艾沃里|first= 詹姆斯 | journal = Philosophical Transactions of the Royal Society of London | volume = 114 | year=1824 | pages = 85–150 | jstor = 107707 | publisher = The Royal Society | doi=10.1098/rstl.1824.0008 | doi-access = free }}
*{{Citation | last1=雅可比 | first1=C. G. J. | title=Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1&nbsp;−&nbsp;2''xz''&nbsp;+&nbsp;''z''<sup>2</sup>)<sup>1/2</sup> entstehen. | language=German | doi=10.1515/crll.1827.2.223 | year=1827 | journal=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik | issn=0075-4102 | volume=2 | pages=223–226 | s2cid=120291793 | url=https://zenodo.org/record/1448810 | accessdate=2022-12-29 | archive-date=2022-12-29 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221229044157/https://zenodo.org/record/1448810 | dead-url=no }}
*{{MacTutor|id=Rodrigues|title=Olinde Rodrigues}}
*{{citation|first=欧林|last= 罗德里格|authorlink=Olinde Rodrigues|series=(Thesis for the Faculty of Science of the University of Paris)|title=De l'attraction des sphéroïdes|journal=Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique|volume=3|issue=3|year=1816|pages= 361–385|url = https://books.google.com/books?id=dp4AAAAAYAAJ&pg=PA361}}

[[Category:Orthogonal polynomials]]

[[Category:數學公式]]