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{{NoteTA|G1=Languege|G2=Math}}
{{微积分学}}
{{中值定理}}

以法国数学家[[米歇尔·罗尔]]命名的'''罗尔中值定理'''（{{lang-en|Rolle's theorem}}）是[[微分学]]中一条重要的定理，是三大[[微分中值定理]]之一，叙述如下：如果[[函数]]<math>f(x)</math>满足

# 在闭[[区间]]<math>[a,b]</math>上[[连续]]；
# 在开区间<math>(a,b)</math>内[[可微函数|可微分]]；
# 在区间端点处的函数值相等，即<math>f(a)=f(b)</math>，

那么在<math>(a,b)</math>内至少有一点<math>\xi (a<\xi<b)</math>，使得<math>f^\prime(\xi)=0</math><ref>{{cite book | title=高等数学（上） | publisher=[[高等教育出版社]] | author=殷锡鸣 | year=2009 | location=北京 | pages=134| isbn=978-7-04-027235-2 }}</ref>。

== 证明 ==
[[File:RTCalc.svg|thumb|300px|罗尔定理的几何意义]]
首先，因为<math>f</math>在闭区间<math>[a,b]</math>上连续，根据[[极值定理]]，<math>f</math>在<math>[a,b]</math>上有[[最大值]]和[[最小值]]。如果最大值和最小值都在端点<math>a</math>或<math>b</math>处取得，由于<math>f(a)=f(b)</math>，<math>f</math>显然是一个[[常数函数]]。那么对于任一点<math>\xi \in (a,b)</math>，我们都有<math>f^\prime(\xi)=0</math>。

现在假设<math>f</math>在<math>\xi\in (a,b)</math>处取得最大值。我们只需证明<math>f</math>在该点[[导数]]为零。

取<math>x\in (a,\xi)</math>，由最大值定义<math>f(\xi)\geq f(x)</math>，那么<math>\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0</math>。令<math>x\rightarrow \xi^-</math>，则<math>\lim_{x\rightarrow \xi^-} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0</math>。因为<math>f</math>在<math>\xi</math>处可导，所以我们有<math> f'(\xi)\geq 0</math>。

取<math>x\in (\xi,b)</math>，那么<math>\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0</math>。这时令<math>x\rightarrow \xi^+</math>，则有<math>\lim_{x\rightarrow \xi^+} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0</math>，所以<math> f'(\xi)\leq 0</math>。

于是，結合兩者，<math>f'(\xi)=0</math>。

<math>f</math>在<math>\xi\in(a,b)</math>处取得最小值的情况同理。

== 例子 ==

=== 第一个例子 ===
[[File:semicircle.svg|thumb|300px|半径为''r''的'''半圆''']]

考虑函数
:<math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r]</math>。

（其中''r'' > 0。）它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−''r'',''r'']内连续，在开区间(−''r'',''r'')内可导（但在终点−''r''和''r''处不可导）。由于''f''(−''r'') = ''f''(''r'')，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。

{{clear}}

=== 第二个例子 ===

[[File:Absolute value.svg|thumb|300px|绝对值函数的图像]]

如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个''a'' > 0，考虑[[绝对值]]函数：

:<math>f(x) = |x|,\qquad x\in[-a,a]</math>。

那么''f''(−''a'') = ''f''(''a'')，但−''a''和''a''之间不存在导数为零的点。这是因为，函数虽然是连续的，但它在点''x'' = 0不可导。注意''f''的导数在''x'' = 0从-1变为1，但不取得值0。

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== 推广形式 ==
第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：

考虑一个实数，f(x)是在闭区间[''a'',''b'']上的连续函数，并满足f(a) = f(b).如果对开区间(''a'',''b'')内的任意''x''，右极限
:<math>f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>

而左极限

:<math>f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>

在[[扩展的实数轴]][−∞,∞]上存在，那么开区间(''a'',''b'')内就存在''c''使得这两个极限

<math>f'(c+)\quad</math>和<math>\quad f'(c-)</math>

中其中一个≥ 0，另一个≤ 0（在扩展的实数轴上）。如果对任何''x''左极限和右极限都相同，那么它们对''c''也相等，于是在''c''处''f''的导函数存在且等于零。

== 参见 ==
* [[中值定理]]

==参考文献==
{{reflist|1}}

==外部链接==
{{Commonscat|Rolle's theorem}}
* {{springer|title=Rolle theorem|id=p/r082550}}

[[Category:实分析定理]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:微積分定理]]