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[[线性代数|在线性代数中]]，'''缺失矩阵'''或稱'''缺陷矩阵、不完备矩阵'''是没有完备的[[特征值和特征向量|特征向量]][[基 (線性代數)|基]]的[[方块矩阵|方阵]]，因此无法被[[可对角化矩阵|对角化]]。特别地，一个''n''&#x2009;×&#x2009;''n''[[矩阵]]是缺失的，[[当且仅当]]此矩阵不具备有''n 个''[[線性無關|线性独立]]的特征向量。 <ref name="golub">{{Harvard citation text|Golub|Van Loan|1996|p=316}}</ref>利用广义特征向量对特征向量进行扩充，形成完整的基，这是解决[[常微分方程|常微分方程组]]等缺失系统所必需的方式。

一个''n''&#x2009;×&#x2009;''n'' 的缺失矩阵总有少于''n 个不同(相异)''的[[特征值和特征向量|特征值]] (不同的特征值是有线性独立的特征向量)。特别的是，缺失矩阵具有一个或多个特征值''λ'' ，其[[特征值和特征向量|代数]]重数''m'' > 1（即它们是[[特徵多項式|特征多项式]]的多重[[根 (数学)|根]]），但与''λ''相关的线性独立特征向量少于''m''个。如果''λ''的代数重数超过其[[特征值和特征向量|几何]]重数（即与''λ''相关的线性独立特征向量的数量），则称''λ''为'''缺失特征值'''。 <ref name="golub" />然而，每一个具有代数重数''m''的特征值总是具有''m''个线性独立的广义特征向量。

一个[[埃尔米特矩阵|厄米矩阵]]（或[[埃尔米特矩阵|厄米矩阵]]的特例[[实数|实]][[對稱矩陣|对称矩阵]]）或[[酉矩阵]]永远不会是缺失的 ；更广义地说，一个[[正规矩阵]]（包括厄米矩阵和酉矩阵作）永远不会是缺失的。

== 若爾當块 ==
任何&#x2009;2×&#x2009;2 或矩阵维度更大的非平庸[[若尔当矩阵|若爾當矩陣]] （即不完全对角）会是缺失的。 （一个对角矩阵是具有所有平庸 [[若尔当矩阵|若爾當块]] 的[[若尔当标准型]]的特例，并且不是缺失的)。  例如，对于一个 ''n''&#x2009;×&#x2009;''n'' [[若尔当矩阵|若爾當块]] :

: <math>J = \begin{bmatrix}
\lambda & 1      & \;   & \; \\
\;    & \lambda  & \ddots & \; \\
\;    & \;      & \ddots & 1  \\
\;    & \;      & \;   & \lambda    
\end{bmatrix},</math>

其對角線上都是同一個元素，而对角线上一排都是1，其余位置上都是0。此 ''n''&#x2009;×&#x2009;''n'' [[若尔当矩阵|若爾當块]]可以有一个[[特征值和特征向量|特征值]]&#x3BB; ，而且其代数重数为'' n'' （如果还存有相同特征值的其他[[若尔当矩阵|若爾當块]] ，其代数重数更大），但只有一个不同的特征向量<math> J v_1 = \lambda v_1 </math> ， 此处的 <math>v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}.</math>与此同时，其他正則基向量<math>v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, ~ \ldots, ~ v_n = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}</math>会形成广义特征向量，并使得 <math>J v_k = \lambda v_k + v_{k-1}</math>， 此处的 <math>k=2,\ldots,n </math> 。

任何缺失矩阵都有一个非平庸的[[若尔当标准型]]，它最接近于这种矩阵的[[可对角化矩阵|对角化]]。

缺失矩阵的一个简单例子是

: <math>\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},</math>

具有两个[[特征值和特征向量|特征值]] 为3，但只有一个不同的特征向量为

: <math>\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}</math>

（及其常数倍数）。

== 参见 ==

* [[若尔当标准型]]
<references group="" responsive="1"></references>

== 参考文献 ==

* {{Citation|first=Gene H.|last=Golub|first2=Charles F.|last2=Van Loan|year=1996|isbn=978-0-8018-5414-9|title=Matrix Computations|edition=3rd|publisher=[[Johns Hopkins University Press]]|place=Baltimore}}
* {{Cite book|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear Algebra and Its Applications|url=https://archive.org/details/linearalgebraits00stra|url-access=registration|edition=3rd|publisher=Harcourt|location=San Diego|year=1988|isbn=978-970-686-609-7}}
[[Category:線性代數]]