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{{Unreferenced|time=2020-10-18T23:35:27+00:00}}
在[[欧几里得几何]]中，'''均匀缩放'''是放大或缩小物体的[[线性变换]]；[[缩放因子]]在所有方向上都是一样的；它也叫做[[位似变换]]。均匀缩放的结果[[相似]]（在几何意义上）于原始的物体。

更一般的是在每个坐标轴方向上的有单独缩放因子的'''缩放'''；特殊情况是'''方向缩放'''（在一个方向上）。[[形状]]可能变化，比如矩形可能变成不同形状的矩形，还可能变成平行四边形（保持在平行于轴的线之间的角度，但不保持所有的角度）。

==矩阵表示==

缩放可以表示为缩放矩阵。要用一个[[向量]]''v'' = (''v<sub>x</sub>, v<sub>y</sub>, v<sub>z</sub>'')缩放一个物体，每个点''p'' = (''p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>'')都需要乘以缩放矩阵：
:<math> S_v =
\begin{bmatrix}
v_x & 0 & 0  \\
0 & v_y & 0  \\
0 & 0 & v_z  \\
\end{bmatrix}
</math>

如下所示，这个乘法将给出预期的结果：
:<math>
S_vp =
\begin{bmatrix}
v_x & 0 & 0  \\
0 & v_y & 0  \\
0 & 0 & v_z  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
p_x \\ p_y \\ p_z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
v_xp_x \\ v_yp_y \\ v_zp_z
\end{bmatrix}
</math>

这种缩放按在缩放因子中间的一个因子改变物体的[[直径]]，那在在两个缩放因子的最小和最大乘积之间的一个因子改变它的[[面积]]，按所有三个缩放因子的乘积改变它的[[体积]]。

在最一般意义上的缩放是使用[[可对角化矩阵]]的任何[[仿射变换]]。它包括缩放的三个方向不垂直的情况。它还包括一个或多个缩放因子等于零的情况（[[投影]]），和一个或多个负缩放因子的情况。

==齐次坐标==

使用[[齐次坐标]]经常是更加有用的，因为3次元的[[平移]]（[[仿射变换]]）不能用3×3矩阵完成。要按一个[[向量]]''v'' = (''v<sub>x</sub>, v<sub>y</sub>, v<sub>z</sub>'')缩放一个物体，所有的[[齐次坐标|齐次]]向量''p'' = (''p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>'', 1)都需要乘以缩放矩阵：
:<math> S_v =
\begin{bmatrix}
v_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & v_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & v_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

如下所示，这个乘法给出预期的结果：
:<math>
S_vp =
\begin{bmatrix}
v_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & v_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & v_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
v_xp_x \\ v_yp_y \\ v_zp_z \\ 1
\end{bmatrix}
</math>

缩放是均匀的，[[当且仅当]]缩放因子是相等的。如果除了一个因子之外所有缩放因子都是1我们得到方向缩放。

因为齐次坐标的最后成员可以看作其他三个成员的分母，使用公共因子''s''的缩放可以使用如下缩放矩阵完成：
:<math> S_v =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{s}
\end{bmatrix}
</math>

对于每个[[齐次坐标|齐次]]向量''p'' =（''p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>'', 1），我们有
:<math>
S_vp =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{s}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
p_x \\ p_y \\ p_z \\ \frac{1}{s}
\end{bmatrix}
</math>
它将均质于
:<math>
\begin{bmatrix}
sp_x \\ sp_y \\ sp_z \\ 1
\end{bmatrix}
</math>

==参见==
*[[比例尺]]
*[[反射 (数学)|反射]]
*[[旋转]]
*[[反演]]
*[[平移]]
*[[点反演]]

[[Category:函数|S]]
[[Category:欧几里得几何|S]]