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{{NoteTA|
1= zh-hans:复;zh-hant:複
}}
在[[数学]]中，复'''维特代数'''（{{lang-en|Witt algebra}}）是[[黎曼球面]]上某些亚纯向量场組成的[[李代數|李代数]]，其滿足：存在某兩個固定點，使各個向量場在該兩點以外皆處處全纯。它也是圆上多项式向量场的李代数和环'''C''' [ ''z'', ''z'' <sup>&#x2212; 1</sup> ] 的[[導子]]李代数的复化。維特代數得名於{{le|Ernst Witt}}。

有限域上的相关的李代数，也称为Witt代数。

复Witt代数由 Cartan (1909) 首先定义，Witt在1930 年代研究了有限域上的类比。

== 基础 ==
Witt代数的基由[[向量場|向量场]]<math>L_n=-z^{n+1} \frac{\partial}{\partial z}</math>给出，其中''n属于<math>\mathbb Z</math>''.

两个向量场的[[李导数|李括号]]由下式给出

: <math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}.</math>

这个代数有一个称为[[维拉宿代数|Virasoro 代数]]的[[群擴張|中心扩张]]，它在二维共形场论和[[弦理論|弦论]]中非常重要。

通过将''n''限制为 1,0,-1，可以得到一个子代数。在复数域，它正好是[[勞侖茲群|洛伦兹群]][[莫比乌斯变换|SL(2,C)]]的代数<math>sl(2,\mathbb{C})</math>。在实数域上，它是代数[[SL₂(ℝ)|'''''sl''''' (2,R)]] = '''''su''''' (1,1)。反过来，'''''su''''' (1,1) 足以重构原代数。 <ref> D Fairlie, J Nuyts, and C Zachos (1988). ''Phys Lett'' '''B202''' 320-324. {{Doi|10.1016/0370-2693(88)90478-9}}</ref>

== 有限域上的Witt代数 ==
在''p'' &#x3E; 0 的域''k''上，Witt 代数被定义为环的导数的李代数

: ''k'' [ ''z'' ]/ ''z'' <sup>''p''</sup>

对于&#x2212; 1 &#x2264; ''m'' &#x2264; ''p'' &#x2212; 2，Witt 代数由''L''<sub>''m''</sub>展开得到。

== 参见 ==

* [[维拉宿代数|Virasoro代数]]
* [[海森伯群|海森堡代数]]

== 参考 ==
{{Reflist}}

* [[埃利·嘉当|Élie Cartan]], [http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_1909_3_26__93_0 ''Les groupes de transformations continus, infinis, simples。''] {{Wayback|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_1909_3_26__93_0 |date=20110605030206 }}Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 26, 93-161 (1909).
* 
[[Category:李代數]]
[[Category:共形場論]]