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'''维格纳 3-j 符号'''也称3-j符号，与量子力学中的[[克莱布希－高登系数]]有密切关系。

:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.
</math>

==反演关系==
:<math>
\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle = (-1)^{-j_1+j_2-m_3}\sqrt{2j_3+1}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & -m_3
\end{pmatrix}.
</math>
==对称性==
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_2 & j_3 & j_1\\
  m_2 & m_3 & m_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_3 & j_1 & j_2\\
  m_3 & m_1 & m_2
\end{pmatrix}.
</math>
;位相
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_2 & j_1 & j_3\\
  m_2 & m_1 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_3 & j_2\\
  m_1 & m_3 & m_2
\end{pmatrix}.
</math>

:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  -m_1 & -m_2 & -m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}.
</math>

:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_1 & \frac{j_2+j_3-m_1}{2} & \frac{j_2+j_3+m_1}{2}\\
  j_3-j_2 & \frac{j_2-j_3-m_1}{2}-m_3 & \frac{j_2-j_3+m_1}{2}+m_3
\end{pmatrix}.
</math>
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  \frac{j_2+j_3+m_1}{2} & \frac{j_1+j_3+m_2}{2} & \frac{j_1+j_2+m_3}{2}\\
  j_1 - \frac{j_2+j_3-m_1}{2} & j_2 - \frac{j_1+j_3-m_2}{2} & j_3-\frac{j_1+j_2-m_3}{2}
\end{pmatrix}.
</math>
里奇对称性包括72类对称性 symmetries.<ref>{{cite journal |first1=T. |last1=Regge
|title=Symmetry Properties of Clebsch-Gordan Coefficients |journal=Nuovo Cimento |year=1958
|volume=10 |page=544 |doi=10.1007/BF02859841}}</ref> <ref>{{Cite journal |first1=J. |last1=Rasch
|first2=A. C. H. |last2=Yu |title=Efficient Storage Scheme for Pre-calculated Wigner 3j, 6j and Gaunt Coefficients |journal=SIAM J. Sci. Comput. |volume=25 |issue=4 |year=2003 |pages=1416–1428 |doi=10.1137/s1064827503422932
}}</ref>
:<math>
R=
\begin{array}{|ccc|}
  \hline
    -j_1+j_2+j_3 & j_1-j_2+j_3 & j_1+j_2-j_3\\
    j_1-m_1 & j_2-m_2 & j_3-m_3\\
    j_1+m_1 & j_2+m_2 & j_3+m_3\\
  \hline
\end{array}
</math>


==参考文献==
<references/>

[[Category:旋轉對稱]]
[[Category:李群表示论]]
[[Category:量子力学]]