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'''维塔利集合'''是一个[[勒贝格测度|勒贝格不可测]]的集合的例子，以[[朱塞佩·维塔利]]命名。'''维塔利定理'''就是关于这种集合存在與否的[[存在性定理]]，它是一个非构造性的结果。维塔利集合有无穷多个，它们的存在性是在[[选择公理]]的假设下证明的。

==不可测集的重要性==

有些集合有确定的“长度”或“质量”。例如，[[区间]][0, 1]具有长度1；更一般地，区间[''a'', ''b'']，其中''a'' &le; ''b''，具有长度''b'' &minus; ''a''。如果我们把这种区间视为金属棒，则它们有确定的质量。如果[0, 1]的棒重1千克，则[3, 9]的棒重6千克。集合[0, 1] &cup; [2, 3]是由两个长度为一的区间所组成，因此总长度为2。用质量来表示，就是两个质量为1的棒，因此总质量为2。

这里有一个很自然的问题：如果E是实数轴的任意一个子集，它有没有“质量”或“长度”？作为一个例子，我们可能要问，[[有理数]]集的质量是什么。它们在[[实数轴]]上十分均匀地分布，因此我们就可能要猜想，有理数集就是没有质量的。

解决方法是使用[[测度论]]。在这个背景下，[[勒贝格测度]]把质量''b'' &minus; ''a''分配于区间[''a'', ''b'']，而把质量0分配于有理数集。任何一个有确定质量的集合都称为“可测”的。从勒贝格测度的构造（例如，使用[[外测度]]），仍然不能明显看出有没有不可测的集合。

==构造和证明==
如果''x''和''y''是两个[[实数]]，且''x'' &minus; ''y''为[[有理数]]，则我们记''x'' ~ ''y''，并称''x''和''y''为''等价''的；~是一个[[等价关系]]。对于每一个''x''，都存在'''R'''的一个子集[''x''] = {''y'' ∈ '''R''' : ''x'' ~ ''y''}，称为''x''的''等价类''。这些等价类的集合划分了'''R'''。根据[[选择公理]]，我们可以选择一个集合<math>V \subset [0, 1]</math>，在每一个等价类中都正好含有一个代表（也就是说，对于任何等价类[''x'']，集合''V'' &cap; [''x'']是[[单元素集合]]）。我们称''V''为维塔利集合。

维塔利集合是不可测的。为了证明这个命题，我们假设''V''是可测的。从这个假设，我们将证明一个荒唐的结论：就是''a'' + ''a'' + ''a'' + ……（无穷多个相同的数的和）是位于1和3之间的。由于得到了这个荒唐的结论，问题就一定出在未证明的假设（''V''是可测的）了。

首先，我们设''q''<sub>1</sub>，''q''<sub>2</sub>，……为区间[&minus;1, 1]内的有理数的列举（有理数集是[[可数]]的）。从''V''的构造中，注意集合<math>V_k=\{v+q_k : v \in V\}</math>，''k'' = 1，2，……是两两不交的，并进一步注意到<math>[0,1]\subseteq\bigcup_k V_k\subseteq[-1,2]</math>。（要证明第一个包含，考虑任何[0,1]内的实数''x''，并设''v''为''V''中等价类[''x'']的代表；那么对于某个[-1,1]内的有理数，便有''x'' &minus;''v'' = ''q''（例如''q'' = ''q''<sub>l</sub>），因此''x''位于''V''<sub>l</sub>内。） 

从勒贝格可测集合的定义中，可以证明所有这类的集合都满足以下两个性质：

1. 测度是[[可数可加]]的，也就是说，如果<math> A_i</math>是最多可数个两两不交的集合，那么<math> \mu \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)</math>。

2. 测度是[[平移不变]]的，也就是说，对于任何实数x，都有<math> \mu(A)=\mu(A+x) </math>。

现在考虑以上给出的并集的测度&mu;。因为&mu;是可数可加的，它一定也满足''单调''的性质；也就是说，如果''A''&sub;''B''，则&mu;(''A'')&le;&mu;(''B'')。因此，可知：

:<math>1 \leq \mu\left(\bigcup_k V_k\right) \leq 3.</math>

根据可数可加性，我们有：

:<math>\mu\left(\bigcup_k V_k\right) = \sum_{k=1}^\infty \mu(V_k)</math>

这是因为''V''<sub>''k''</sub>是两两不交的。由于平移不变性，可知对于每一个''k'' = 1，2，……，&mu;(''V''<sub>''k''</sub>) = &mu;(''V'')。把这个结果代入上式，可得：

:<math>1 \leq \sum_{k=1}^\infty \mu(V_k) = \sum_{k=1}^\infty \mu(V)\leq 3.</math>

它是可數无穷多个非负实常数的和。如果这个常数是零，则和也是零，因此肯定不会大于或等于一。如果这个常数[[阿基米德公理|大于零，则和为无穷大]]，特别地，它肯定不会小于或等于3。

这个结论是荒唐的，且由于平移不变性和可数可加性就是我们使用的一切，于是''V''便一定是不可测的。

==参见==

*[[不可测集]]
*[[巴拿赫-塔斯基悖论]]

==参考文献==
* Herrlich, Horst: ''Axiom of Choice'', page 120. Springer, 2006.

{{實數}}
[[Category:测度论]]