查看“︁继承有限集合”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[File:Nested_set_V4.svg|thumb|400px|<math>~V_4~</math> ]]
在[[数学]]中，'''继承有限集合'''被[[递归]]的定义为只包含继承有限集合（空集作为基础情况）的[[有限集合|有限]][[集合 (数学)|集合]]。非形式的说，继承有限集合是其成员也是有限集合，成员的成员也是有限集合以此类推，的有限集合。

它们可以通过如下规则构造：
: 空集是继承有限集合。
: 如果<math>a_1,\ldots,a_k</math>是继承有限集合，则<math>\{a_1,\ldots,a_k\}</math>也是。

所有继承有限集合的集合被指示为<math>V_\omega</math>。如果我们指示<math>P(S)</math>为<math>S</math>的[[冪集|幂集]]，则 <math>V_\omega</math>还可以构造如下：首先把空集写为<math>V_0</math>，接着<math>V_1=P(V_0)</math>, <math>V_2=P(V_1)</math>, <math>\ldots</math>, <math>V_k=P(V_k-1)</math>接着

:<math>\bigcup_{k=0}^{\infty} V_k = V_\omega</math>。

继承有限集合是[[冯·诺伊曼全集]]的子类。它是把[[Zermelo-Fraenkel 集合论|集合论公理]]中的[[无穷公理]]替代为它的否定公理得到公理体系的[[模型论|模型]]，因此证明了无穷公理不是其他集合论公理的推论。

注意有[[可数集合|可数]]多个继承有限集合，因为<math>V_n</math>对于任何有限的<math>n</math>都是有限的（它的[[基数 (数学)|基数]]是<math>^{n-1}2</math>，参见 [[tetration]]），而可数多个有限集合的并集是可数的。

等价的说，一个集合是继承有限的，当且仅当它的[[传递集合|传递闭包]]是有限的。V<sub>&omega;</sub>也被符号化为<math>H_{\aleph_0}</math>，意味着小于<math>\aleph_0</math>的基数的继承。参见[[继承可数集合]]。

==参见==
*[[有限主義]]

[[Category:集合族]]

{{集合论}}