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[[数学]]中，'''统计流形'''是每点都代表一[[概率分布]]的[[黎曼流形]]，为[[信息几何]]提供了研究对象。[[费希尔信息度量]]提供了流形上的[[度量张量]]。根据这定义，对数[[似然函数]]是[[可微函数|可微映射]]，[[分数 (统计学)|分数]]是[[包含映射]]。<ref>{{cite book |first1=Michael K. |last1=Murray |first2=John W. |last2=Rice |chapter=The definition of a statistical manifold |title=Differential Geometry and Statistics |publisher=Chapman & Hall |year=1993 |pages=76–77 |isbn=0-412-39860-5 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=ZBa7F9LrDrMC&pg=PA76 |access-date=2023-11-09 |archive-date=2023-11-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231109040735/https://books.google.com/books?id=ZBa7F9LrDrMC&pg=PA76 |dead-url=no }}</ref>

==示例==
所有[[正态分布]]可视为2维参数空间，参数为[[期望]]<math>\mu</math>与[[方差]]<math>\sigma^2\ge 0</math>。由[[费希尔信息]]矩阵给出的[[黎曼度量]]可得统计流形，其几何模型是[[双曲几何]]。通过费希尔信息推断参数方程而非从似然函数出发，是绘制流形的一种方法。

统计流形的简单例子是物理学中的[[正则系综]]：是1维流形，[[温度]]''T''是坐标。对任何常温''T''，都有概率空间：因此对原子气体而言，它就是原子速度的概率分布，会随''T''的变化而变化。

另一个简单例子来自医学，即病人治愈概率分布与给药量的关系。在固定剂量下，有些病人的病情有所改善，有些则没有，这就是基本概率空间。若改变剂量，结果概率也会变化，因此剂量就是流形上的坐标。要成为[[微分流形]]，就要根据剂量的任意微小变化测量结果，这并不实际可行，除非已有了剂量-反映数学模型，其中剂量可以任意变化。

== 定义 ==
令''X''为[[可定向性|可定向]]流形，使<math>(X,\Sigma,\mu)</math>为''X''上的[[测度]]。等价地，令<math>(\Omega, \mathcal{F},P)</math>为关于<math>\Omega=X</math>的[[概率空间]]，其中[[σ-代数]]<math>\mathcal{F}=\Sigma</math>与概率<math>P=\mu</math>。

''X''的统计流形''S''(''X'')定义为''X''上所有测度<math>\mu</math>（σ-代数<math>\Sigma</math>不变）。注意这空间是无穷维的，通常认为是[[弗雷歇空间]]。''S''(''X'')的点都是测度。

与其处理无穷维空间''S''(''X'')，不如处理有限维[[子流形]]，由一组由光滑、连续变化的参数<math>\theta</math>参数化的[[概率分布]]给出定义即可。也就是说，只考虑由参数选择的测度。若参数<math>\theta</math>是''n''维的，那么子流形一般也是''n''维。所有有限维统计流形都可这样理解。{{clarify|reason = definition above says that all manifolds are infinite-dimensional, so there can't be any finite-dimensional ones|date=2012年7月}}

== 另见 ==
* [[琴佐夫定理]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{Differentiable computing}}

[[Category:流形]]
[[Category:信息论]]

{{geometry-stub}}
{{Statistics-stub}}