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在数学中，'''绝对连续'''是一个光滑性质，比[[连续]]和[[一致连续]]都要严格。函数的绝对连续和测度的绝对连续都有定义。

== 函数的绝对连续 ==
=== 定义 ===

设(''X'', ''d'')为一个[[度量空间]]，并设''I''为[[实直线]]'''R'''上的[[区间]]。函数''f'' : ''I'' → ''X''在''I''上'''绝对连续'''，如果对于每一个正数<math>\varepsilon</math>，都存在一个正数<math>\delta</math>，使得当''I''的[[两两不交]]的子区间[''x''<sub>''k''</sub>, ''y''<sub>''k''</sub>]的（有限或无限）序列满足

:<math>\sum_{k} |y_k - x_k| < \delta</math>

时，就有：

:<math>\sum_{k} d \left( f(y_k), f(x_k) \right) < \varepsilon.</math>

所有从''I''到''X''的绝对连续函数的集合记为AC(''I''; ''X'')。

一个进一步的推广是曲线''f'' : ''I'' → ''X''的空间AC<sup>''p''</sup>(''I''; ''X'')，使得：

:<math>d \left( f(s), f(t) \right) \leq \int_{s}^{t} m(\tau) \, \mathrm{d} \tau </math>，对于所有的<math> [s, t] \subseteq I</math>

对于[[Lp空间|''L''<sup>''p''</sup>空间]]''L''<sup>''p''</sup>(''I''; '''R''')中的某个''m''。

=== 性质 ===
* 两个绝对连续函数的和与差也是绝对连续的。

* 如果两个函数是定义在一个有界的闭区间上，那么它们的乘积也是绝对连续的。

* 如果一个绝对连续的函数处处不为零，那么它的倒数也是绝对连续的。

* 每一个绝对连续的函数都是[[一致连续]]和[[连续]]的。每一个[[利普希茨连续]]的函数都是绝对连续的。

* 如果''f'' : [''a'',''b''] → ''X''是绝对连续的，那么它在[''a'',''b'']内是[[有界变差]]函数。

* 如果''f'' : [''a'',''b''] → '''R'''是绝对连续的，那么它便具有[[卢津N性质|卢津''N''性质]]。也就是说，对于任何<math>L \subseteq [a,b]</math>使得<math>\lambda(L)=0</math>，都有<math>\lambda(f(L))=0</math>，其中<math>\lambda</math>表示'''R'''上的[[勒贝格测度]]。

* 如果''f'' : ''I'' → '''R'''是绝对连续的，那么''f''[[几乎处处]]具有导数，导数是勒贝格可积的，且其积分等于''f''的增量。

* ''f'' : ''I'' → '''R'''是绝对连续的，当且仅当它是连续和有界变差，且具有卢津''N''性质。

== 测度的绝对连续 ==

如果''μ''和''ν''是相同测度空间上的[[测度]]，那么我们称''μ''关于''ν'''''绝对连续'''，如果对于每一个满足''ν''(''A'')&nbsp;=&nbsp;0的集合''A''都有''μ''(''A'')&nbsp;=&nbsp;0，记为“''μ''&nbsp;≪&nbsp;''ν''”。用符号来表示，就是：

:<math>\mu \ll \nu \iff \left( \nu(A) = 0 \implies \mu (A) = 0 \right).</math>

测度的绝对连续是[[自反关系|自反]]和[[传递关系|传递]]的，但不是[[反对称关系|反对称]]的，因此它是一个[[预序关系]]，而不是[[偏序关系]]。如果''μ''&nbsp;≪&nbsp;''ν''且''ν''&nbsp;≪&nbsp;''μ''，那么测度''μ''和''ν''称为[[等价 (测度论)|等价]]的。

如果''μ''是[[带号测度]]或[[复测度]]，那么我们称''μ''关于''ν''绝对连续，如果它的变差|''μ''|满足|''μ''|&nbsp;≪&nbsp;ν；等价地，如果每一个满足''ν''(''A'')&nbsp;=&nbsp;0的集合''A''都是''μ''-[[零测集]]。

[[拉东-尼科迪姆定理]]说明，如果''μ''关于''ν''绝对连续，且''ν''是[[σ-有限测度]]的，那么''μ''便具有一个关于''ν''的密度，或“拉东-尼科迪姆导数”，这意味着存在一个''ν''-可测函数''f''，在[0,&nbsp;+∞)内取值，记为''f''&nbsp;=&nbsp;<sup>d''μ''</sup>⁄<sub>d''ν''</sub>，使得对于任何''ν''-可测集''A''，都有：

:<math>\mu(A) = \int_A f \, \mathrm{d} \nu.</math>

在大部分应用中，如果我们只说''n''维[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''n''</sup>上的测度是绝对连续的，而不具体说明它是关于哪一个测度绝对连续的，那么通常就意味着是关于[[勒贝格测度]]绝对连续的。由于'''R'''<sup>''n''</sup>关于勒贝格测度是''σ''-有限的，因此'''R'''<sup>''n''</sup>上的绝对连续测度正好是具有密度的测度；特别地，绝对连续的概率测度正好是具有[[概率密度函数]]的测度。

== 两个绝对连续的概念之间的关系 ==

实直线的[[波莱尔集|波莱尔子集]]上的测度μ关于勒贝格测度绝对连续，当且仅当点函数
:<math>F(x)=\mu((-\infty,x])</math>
是一个局部绝对连续的实函数。也就是说，一个函数是局部绝对连续的，当且仅当它的分布 (数学)|分布导数是一个测度，关于勒贝格测度[[绝对连续]]。

== 奇异测度 ==
通过[[勒贝格分解定理]]，每一个测度都可以分解成一个绝对连续测度与一个奇异测度的和。关于非（绝对连续）的测度，参见奇异测度。

== 例子 ==
以下的函数是处处连续的，但不是绝对连续的：
* [[康托尔函数]]；
* 含有原点的有限区间内的函数
::<math>f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{if } x \neq 0 \end{cases} </math>；
* 无界区间内的函数''ƒ''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>。

== 参考文献 ==

* {{cite book | author=Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. | title=Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures | publisher=ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel | year=2005 | isbn=3-7643-2428-7 }}
* {{cite book | last=Royden | first=H.L. | title = Real Analysis | publisher = Collier Macmillan | year = 1968 | isbn=0-02-979410-2 }}

* Leoni, Giovanni (2009), ''[http://bookstore.ams.org/gsm-105 {{Wayback|url=http://bookstore.ams.org/gsm-105 |date=20200324174132 }} A First Course in Sobolev Spaces]'',  Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 {{ISBN|978-0-8218-4768-8}}, {{MR|2527916}}, {{Zbl|1180.46001}}, [http://www.maa.org/press/maa-reviews/a-first-course-in-sobolev-spaces {{Wayback|url=http://www.maa.org/press/maa-reviews/a-first-course-in-sobolev-spaces |date=20200324174131 }} MAA]
* {{citation | last=Nielsen | first=Ole A. | title = An introduction to integration and measure theory | publisher = Wiley-Interscience | year = 1997 | isbn=0-471-59518-7 }}
* {{citation | last=Royden | first=H.L. | title = Real Analysis | publisher = Collier Macmillan | edition=third| year = 1988 | isbn=0-02-404151-3 }}

[[Category:连续映射]]
[[Category:实分析]]
[[Category:测度论]]